高数教程

【前言】
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【正文】
例2. 证明函数 $y = \sqrt[3]{x},y = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$ 在 $x = 0$ 点连续，但是在 $x = 0$ 点不可导。

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【正文】
<定义2> 设函数 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的左侧 $[{x_0} + \Delta x,{x_0}]$ （ $\Delta x < 0$ ）有定义，如果极限 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$ 存在，则称此极限为 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的左导数，记为 ${{f'}_ - }({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$

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【正文】

（1）由于自变量 $x$ 的变化引起函数 $y = f(x)$ 变化的“快慢”问题——函数的变化率/导数。
（2）由于自变量的微小改变（增量 $\Delta x$ 很小时）引起 $y = f(x)$ 的改变量 $\Delta y$ 的近似值问题——微分问题。
（3）求导数或微分——微分法。

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【正文】
四、连续函数在闭区间上的性质

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【正文】
（3）复合函数的连续性：设 $u = \varphi (x)$ 在 ${x_0}$ 处连续， $\varphi ({x_0}) = {u_0}$ ，而 $y = f(u)$ 在 ${u_0}$ 点处连续，则复合函数 $f\left[ {\varphi (x)} \right]$ 在 ${x_0}$ 点处连续。

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【正文】
三、初等函数的连续性
1. 连续函数的和、积、商的连续性
（1）有限个在某点连续的函数的代数和仍然是在该点连续的函数
（2）有限个在某点连续的函数的乘积仍然是在该点连续的函数
（3）两个在某点连续的函数的商仍然是在该点连续的函数，只要分母在该点处函数值不零

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函数 $y = f(x)$ 在一点 ${x_0}$ 处连续的定义：

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【正文】

这里讨论的 $\alpha ,\beta$ 都是同一个自变量作同一变化过程中的无穷小，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 之比也是同一个变化过程中的极限。

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【正文】
上节课已经证明了：当 $x = n\;(n \in N)$ 时， $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e$ ，下面要证明当 $x$ 为连续自变量时，结论仍成立。

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【正文】
例2. 重要极限之一： $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{{\sin \alpha }}{\alpha } = 1$

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例3. 求 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}$

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【正文】
四、极限的四则运算公式
以下公式中，自变量都是 $x \to {x_0}$ ，或者都是 $x \to \infty$
设 $\lim f(x) = A,\;\lim g(x) = B$ ，则有：

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【正文】
<定理>  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A$ ），A为常数 $\Leftrightarrow \;f(x) = A + \alpha (x)$ ，且 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \alpha (x) = 0$ ）

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【正文】

一、极限值与函数值的关系
1. （极限值的唯一性）如果 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ 存在，则其极限值是唯一的

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【正文】
注意：
1. 不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈；
2. 无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大。

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