【正文】
<定理> \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\) （或 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A\) ），A为常数 \( \Leftrightarrow \;f(x) = A + \alpha (x)\) ，且 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0\) （或 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \alpha (x) = 0\) ）
证：
左推右：设 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\) （或 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A\) ，下面只证前一种情况），根据函数极限定义，对任意给定的 \(\varepsilon > 0\) ，一定存在 \(\delta > 0\) ，使得适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f(x)\) ，恒有 \(\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon \) 。
令 \(\alpha (x) = f(x) - A\) ，就有 \(\left| {\alpha (x)} \right| < \varepsilon \)
从而有 \(f(x) = A + \alpha (x),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0\)
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右推左：设 \(f(x) = A + \alpha (x),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0\)
根据极限定义，对任意给定的 \(\varepsilon > 0\) ，一定存在 \(\delta > 0\) ，使得凡是适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f(x)\) ，恒有 \(\left| {\alpha (x)} \right| < \varepsilon \)
由 \(f(x) = A + \alpha (x) \Rightarrow \alpha (x) = f(x) - A\)
由 \(\left| {\alpha (x)} \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon \) ，即 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\)
证毕。
三、无穷小的性质
1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
证：
只证两个无穷小的情形（更多个的情形，用数学归纳法便可得结果）。
设有 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \beta (x) = 0\) ，需要证明： \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\alpha (x) + \beta (x)} \right] = 0\)
由极限定义可知：任意给定正数 \(\varepsilon > 0\) ，对正数 \(\frac{\varepsilon }{2} > 0\) ，一定存在 \({\delta _1} > 0\) ，使得凡是适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _1}\) 的一切 \(x\) 所对应的 \(\alpha (x)\) ，恒有 \(\left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}\)
同理，对正数 \(\frac{\varepsilon }{2} > 0\) ，一定存在 \({\delta _2} > 0\) ，使得凡是适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _2}\) 的一切 \(x\) 所对应的 \(\beta (x)\) ，恒有 \(\left| {\beta (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}\)
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取 \(\delta = \min \left\{ {{\delta _1},{\delta _2}} \right\} > 0\) ，当 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) 时，这些 \(x\) 所对应的 \({\alpha (x)}\) ， \({\beta (x)}\) 同时满足：
\(\left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2},\;\left| {\beta (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}\)
从而有：
\(\left| {\alpha (x) + \beta (x)} \right| \le \left| {\alpha (x)} \right| + \left| {\beta (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon \)
因此 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\alpha (x) + \beta (x)} \right] = 0\) ，即当 \({x \to {x_0}}\) 时， \({\alpha (x) + \beta (x)}\) 是无穷小。
证毕。
2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
证：
设 \(f(x)\) 在 \(N({{\hat x}_0},{\delta _1}),\;{\delta _1} > 0\) 内有界，即存在 \(M > 0,\;{\delta _1} > 0\) ，使得 \(f(x) \le M,\;x \in N({{\hat x}_0},{\delta _1})\)
又设 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0\) （即当 \({x \to {x_0}}\) 时， \(\alpha (x)\) 是无穷小）
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要证明的是：当 \({x \to {x_0}}\) 时， \(f(x)\alpha (x)\) 是无穷小。
即要证： \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x)\alpha (x)} \right] = 0\)
根据极限，任意给定 \(\varepsilon > 0\) ，对 \(\frac{\varepsilon }{M} > 0\) ，一定存在 \({\delta _2} > 0\) ，使得适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _2}\) 的一切 \(x\) 所对应的 \(\alpha (x)\) 恒有 \(\left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{M}\)
现取 \(\delta = \min \left\{ {{\delta _1},{\delta _2}} \right\} > 0\) ，则凡是适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) 的一切 \(x\) ，都会使 \(\left| {f(x)} \right| \le M\) ，且 \(\left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{M}\)
从而有 \(\left| {f(x)\alpha (x)} \right| = \left| {f(x)} \right|\left| {\alpha (x)} \right| < M \cdot \frac{\varepsilon }{M} = \varepsilon \)
即 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x)\alpha (x)} \right] = 0\)
证毕。
对一个常数 \(C,\;f(x) \equiv C\) 为有界函数；对 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \gamma (x) = 0\) ，在 \(N({{\hat x}_0})\) 内 \(\gamma (x)\) 是有界函数，所以有：
\({1^ \circ }\) 常数与无穷小的乘积仍是无穷小
\({2^ \circ }\) 两个无穷小的乘积仍是无穷小（有限个无穷小的乘积仍是无穷小）
\({3^ \circ }\) 设 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A \ne 0,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0\) （或 \(x \to \infty \) ），则 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} = 0\) （或 \(x \to \infty \) ）
证：
\(\frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} = \frac{1}{{f(x)}} \cdot \alpha (x)\)
要证 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} = 0\) （即 \(\frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}}\) 是无穷小），只需证 \(\frac{1}{{f(x)}}\) 是有界的，再由性质 \({2^ \circ }\) 就可得到性质 \({3^ \circ }\) 的结论。
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因为 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A \ne 0\) ，由极限定义，对给定正数 \(\varepsilon = \frac{{\left| A \right|}}{2} > 0\) ，必定存在 \(\delta > 0\) ，使得凡是适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f(x)\) ，恒有 \(\left| {f(x) - A} \right| < \frac{{\left| A \right|}}{2}\)
又由 \(\left| A \right| - \left| {f(x)} \right| \le \left| {f(x) - A} \right| < \frac{{\left| A \right|}}{2} \Rightarrow \left| A \right| - \left| {f(x)} \right| < \frac{{\left| A \right|}}{2} \Rightarrow \left| A \right| - \frac{{\left| A \right|}}{2} < \left| {f(x)} \right|\) （注：两个数差的绝对值一定 \( \ge \) 它们绝对值的差）
因此 \(0 < \frac{{\left| A \right|}}{2} < \left| {f(x)} \right|\)
因此 \(\left| {\frac{1}{{f(x)}}} \right| < \frac{2}{{\left| A \right|}}\) （ \(\frac{2}{{\left| A \right|}}\) 相当于有界函数定义中的 \(M\) ）
因此 \({\frac{1}{{f(x)}}}\) 在 \(N({{\hat x}_0},\delta )\) 内是有界的。
所以结论成立。
证毕。
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（第12课完）
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