【正文】
四、极限的四则运算公式
以下公式中，自变量都是 \(x \to {x_0}\) ，或者都是 \(x \to \infty \)
设 \(\lim f(x) = A,\;\lim g(x) = B\) ，则有：
1. \(\lim \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = A \pm B = \lim f(x) \pm \lim g(x)\)
2. \(\lim \left[ {f(x)g(x)} \right] = AB = \lim f(x)\lim g(x)\)
若 \(C\) 是常数，则 \(\lim \left[ {Cf(x)} \right] = CA = C\lim f(x)\)
若 \(n\) 是正整数， \(\lim {\left[ {f(x)} \right]^n} = \lim \left[ {f(x) \cdot f(x) \cdots f(x)} \right] = {A^n} = {\left[ {\lim f(x)} \right]^n}\)
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证明：
由函数极限与无穷小的关系：
\(\lim f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A + \alpha (x),\;\lim \alpha (x) = 0\)
\(\lim g(x) = B \Leftrightarrow g(x) = B + \beta (x),\;\lim \beta (x) = 0\)
\(f(x)g(x) = \left[ {A + \alpha (x)} \right]\left[ {B + \beta (x)} \right] = AB + \left[ {A\beta (x) + B\alpha (x) + \alpha (x)\beta (x)} \right] = AB + \gamma (x)\)
其中 \(\gamma (x) = A\beta (x) + B\alpha (x) + \alpha (x)\beta (x)\)
由无穷小的性质，可知 \(\gamma (x)\) 是无穷小，即 \(f(x)g(x) = AB + \gamma (x),\;\lim \gamma (x) = 0\)
\(\lim \left[ {f(x)g(x)} \right] = AB = \lim f(x) \cdot \lim g(x)\)
证毕。
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3. 若 \(B \ne 0\) ，则 \(\lim \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{A}{B} = \frac{{\lim f(x)}}{{\lim g(x)}}\)
证：
\(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{A}{B} + \gamma (x),\;\gamma (x) = \frac{{B\alpha (x) - A\beta (x)}}{{B\left[ {B + \beta (x)} \right]}}\)
由于 \(B\alpha (x),A\beta (x)\) 都是无穷小
因此 \(\lim \left[ {B\alpha (x) - A\beta (x)} \right] = 0\) ，即分子为无穷小
又因为 \(\lim B\left[ {B + \beta (x)} \right] = \lim \left[ {{B^2} + B\beta (x)} \right] = {B^2} \ne 0\)
由无穷小性质3可知 \(\lim \gamma (x) = 0\)
证毕。
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4. 设 \(f(x) \ge g(x)\) ，而 \(\lim f(x) = A,\;\lim g(x) = B\) ，则必有 \(A \ge B\)
证：
令 \(F(x) = f(x) - g(x) \ge 0\) ，则权限的四则运算公式得：
\(\lim F(x) = \lim \left[ {f(x) - g(x)} \right] = \lim f(x) - \lim g(x) = A - B\)
根据函数值与极限值的同号性定理，可知：
\(\lim F(x) = A - B \ge 0 \Rightarrow A \ge B\)
证毕。
例1. 求 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^2} + x - 4}}{{3{x^2} + 2}}\)
解：
所以 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^2} + x - 4}}{{3{x^2} + 2}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (2{x^2} + x - 4)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (3{x^2} + 2)}} = - \frac{3}{5}\)
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一般地，有：
\(R(x) = \frac{{{a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + \cdots + {a_{n - 1}}x + {a_n}}}{{{b_0}{x^m} + {b_1}{x^{m - 1}} + \cdots + {b_{m - 1}}x + {b_m}}}\)
分母的极限：
分子的极限：
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} ({a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + \cdots + {a_{n - 1}}x + {a_n}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sum\limits_{i = 0}^m {{a_i}{x^{n - i}}} = \cdots = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}{x_0}^{n - i}} \)
若分母极限 \(\sum\limits_{j = 0}^m {{b_j}{x_0}^{m - j}} \ne 0\) ，则：
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} R(x) = \frac{{\sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}{x_0}^{n - i}} }}{{\sum\limits_{j = 0}^m {{b_j}{x_0}^{m - j}} }} = R({x_0})\)
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例2. 求 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 5x + 6}}\)
解：
由于 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} - 5x + 6) = 4 - 10 + 6 = 0\) ，所以不能用极限的四则运算公式。
原式 \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 3)(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1}}{{x - 3}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1\)
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（第13课完）
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