【正文】
一、极限值与函数值的关系
1. （极限值的唯一性）如果 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) 存在，则其极限值是唯一的
下面证明这个结论。
证：
用反证法来证明。设 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) 存在且不唯一：
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = B\) ，且 \(A < B\)
即 \(B - A > 0\) ，这个假设后面要用到。
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对给定正数 \(\varepsilon = \frac{{B - A}}{4} > 0\) ，由于 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\) ，故由极限定义，对正数 \(\varepsilon = \frac{{B - A}}{4}\) ，一定存在 \({\delta _1} > 0\) ，使得适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _1}\) 的一切 \(x\) ，所对应的函数值 \(f(x)\) 恒有 \(\left| {f(x) - A} \right| < \frac{{B - A}}{4}\) 。
同理，对给定正数 \(\varepsilon = \frac{{B - A}}{4} > 0\) ，由于 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = B\) ，故由极限定义，对正数 \(\varepsilon = \frac{{B - A}}{4}\) ，一定存在 \({\delta _2} > 0\) ，使得适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _2}\) 的一切 \(x\) ，所对应的函数值 \(f(x)\) 恒有 \(\left| {f(x) - B} \right| < \frac{{B - A}}{4}\) 。
取 \(\delta = \min \{ {\delta _1},{\delta _2}\} \) ，则凡是适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) 的一切 \(x\) ，可以使以下两个不等式同时成立：
\(\left| {f(x) - A} \right| < \frac{{B - A}}{4},\;\left| {f(x) - B} \right| < \frac{{B - A}}{4}\)
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从而有：
\(B - A = \left| {B - f(x) + f(x) - A} \right| \le \left| {B - f(x)} \right| + \left| {f(x) - A} \right| < \frac{{B - A}}{4} + \frac{{B - A}}{4} = \frac{{B - A}}{2}\)
即 \(B - A < \frac{{B - A}}{2}\) ，而在 \(B - A > 0\) 的情况下，这是不可能成立的。
所以 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\) 是唯一的。
2. 极限值与函数值的同号性
(1)设 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\) ，且 \(A > 0\) （或 \(A < 0\) ），则必存在 \(N({{\hat x}_0}),\;s.t.\;\forall x \in N({{\hat x}_0})\) ，都有 \(f(x) > 0\) （或 \(f(x) < 0\) ）。
证：
设 \(A > 0\) ，由 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\) 和极限定义，可知：
对正数 \(0 < \varepsilon \le A\) ，一定存在 \(\delta > 0,\;s.t.\) 适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) （即 \(x \in N({{\hat x}_0},\delta )\) ）的一切 \(x\) ，恒有 \(\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon \) ，即 \(A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon \)
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因为 \(0 < \varepsilon \le A\)
所以 \(A - \varepsilon \ge 0\)
即 \(0 \le A - \varepsilon < f(x)\) ，其中 \(x \in N({{\hat x}_0},\delta )\)
证毕。
(2)设 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\) ，且在 \(N({{\hat x}_0})\) 内 \(f(x) \ge 0\) ，则 \(A \ge 0\) 。
证：
用反证法来证明。假如 \(A < 0\) ，又 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\)
由已证的(1)，可知存在 \(N({{\hat x}_0})\) ，使 \(f(x) < 0,\;x \in N({{\hat x}_0})\)
这与 \(f(x) \ge 0\) 的假设矛盾，所以(2)成立。
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例1. 设 \(f(x)\) 在 \({x_0}\) 点的某邻域 \(N({x_0})\) 内有定义，且 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{{{(x - {x_0})}^2}}} = - 1\) ，则必存在某邻域 \(N({x_0},\delta )\) ，使：
(A) \(f(x) > f({x_0})\)
(B) \(f(x) < f({x_0})\) （此项为正确答案）
(C) \(f(x) = f({x_0})\)
(D)不能判断 \(f(x)\) 与 \({f({x_0})}\) 的大小关系
解：
令 \(F(x) = \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{{{(x - {x_0})}^2}}}\) ，则 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} F(x) = - 1 < 0\)
由前面所证的结论(1)可知：一定存在 \(N({x_0},\delta )\) ，使 \(F(x) < 0,\;x \in N({x_0},\delta )\)
由 \(F(x) = \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{{{(x - {x_0})}^2}}} < 0\; \Rightarrow \;f(x) - f({x_0}) < 0\; \Rightarrow \;f(x) < f({x_0})\) （分母为正数）
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3.（有界性）如果当 \(x \to {x_0}\) （或 \(x \to \infty \) ）时 \(f(x) \to A\) （常数），则一定存在 \({x_0}\) 的某个邻域 \(N({{\hat x}_0})\) （或存在 \(N > 0,\;\left| x \right| > N\) ），使得 \(f(x)\) 是有界的。
证：
已知 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\) ，由极限定义，对给定正数 \(\varepsilon = 1 > 0\) ，必定存在 \(\delta > 0\) ，使得适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) （即 \(x \in N({{\hat x}_0},\delta )\) ）的一切 \(x\) 所对应的 \(f(x)\) ，恒有：
\(\left| {f(x) - A} \right| < 1\; \Leftrightarrow \;A - 1 < f(x) < A + 1\)
即 \(f(x)\) 在 \(N({{\hat x}_0},\delta )\) 内既有上界，又有下界 \( \Rightarrow \) \(f(x)\) 在 \(N({{\hat x}_0},\delta )\) 内有界。
证毕。
二、函数极限与无穷小的关系
设 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\) （或 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A\) ），讨论 \(f(x), A\) 之间有何关系？
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（第11课完）
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