[原创]高等数学笔记(10)

【前言】
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【正文】
注意：
1. 不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈；
2. 无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大。

我们来证明一下结论2。先证明无穷大一定是无界函数。
证：设 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \infty$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \infty$ ），即 $f(x)$ 是无穷大
对任意给定的正数 $M > 0$ （无论多么大），一定存在 $\delta > 0$ （存在 $N > 0$ ），使得：
$\left| {f(x)} \right| > M$ （对 $\forall x \in N({{\hat x}_0},\delta )$ ，或 $\left| x \right| > N$ ）
所以，在 $N({{\hat x}_0},\delta )$ 内（或 $\left| x \right| > N$ ）， $f(x)$ 无界。
证毕。
文章来源：http://www.codelast.com/
再证明无界函数不一定是无穷大。
证：
此处举一个实例即可证明这一点。证明 $f(x) = x\sin x$ 在 $(0, + \infty )$ 内是无界函数；但是当 $x \to + \infty$ 时， $f(x)$ 不是无穷大。
先证 $f(x) = x\sin x$ 在 $(0, + \infty )$ 内是无界函数。
对任何 $M > 0$ （无论多么大），现取足够大的正整数 $n$ ，使 ${x_n} = 2n\pi + \frac{\pi }{2} > M$ ，则：
$f({x_n}) = {x_n}\sin {x_n} = (2n\pi + \frac{\pi }{2})\sin (2n\pi + \frac{\pi }{2}) = (2n\pi + \frac{\pi }{2}) \cdot 1 > M$
可见， $f(x)$ 在 $(0, + \infty )$ 内是无界的。

再证 $x \to + \infty$ 时， $f(x) = x\sin x$ 不是无穷大。
给定 $M = 1$ ，则无论多么大的正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， ${x_n} = n\pi > N$
$f({x_n}) = {x_n}\sin {x_n} = n\pi \sin n\pi = 0 < 1 = M$
所以 $f(x)$ 不是无穷大。即，当 $x \to + \infty$ 时， $f(x)$ 不是无穷大。
证毕。
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3. 无穷小与无穷大的关系
定理：如果当 ${x \to {x_0}}$ （或 ${x \to \infty }$ ）时 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{{f(x)}}$ 是无穷小，如果当 ${x \to {x_0}}$ （或 ${x \to \infty }$ ）时 $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x) \ne 0$ ，则 $\frac{1}{{f(x)}}$ 是无穷大。
证：
下面只证 $x \to {x_0}$ 的情形， $x \to \infty$ 的情形可类推。
①设 $x \to {x_0}$ 时， $f(x)$ 是无穷大，即 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \infty$
任意给定 $\varepsilon > 0$ ，因 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \infty$ ，对于正数 $M = \frac{1}{\varepsilon }$ ，一定存在 $\delta > 0$ ，使适合不等式 $0 < \left| {x - x0} \right| < \delta$ 的一切 $x$ 所对应的 $f(x)$ 满足 $\left| {f(x)} \right| > M = \frac{1}{\varepsilon }$
因此 $\left| {\frac{1}{{f(x)}}} \right| < \varepsilon$ ，即 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{f(x)}} = 0$
即当 $x \to {x_0}$ 时， $\frac{1}{{f(x)}}$ 是无穷小。
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②设当 $x \to {x_0}$ 时， $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x) \ne 0$
任意给定正数 $M > 0$ （无论多么大），因 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0$
对 $\varepsilon = \frac{1}{M}$ ，一定存在 $\delta > 0$ ，使适合不等式 $0 < \left| {x - x0} \right| < \delta$ 的一切 $x$ 所对应的 $f(x)$ 满足 $\left| {f(x)} \right| < \varepsilon = \frac{1}{M} \Rightarrow \left| {\frac{1}{{f(x)}}} \right| > M$
即当 $x \to {x_0}$ 时， $\frac{1}{{f(x)}}$ 是无穷小。
证毕。

四、海涅定理/Heine定理
连续自变量 $x$ 的函数 $f(x)$ 的极限 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)$ ）存在的充分必要条件：对任选的数列 $\left\{ {{x_n}|{x_n} \to {x_0},{x_n} \ne {x_0}} \right\}$ （或 ${x_n} \to \infty$ ），其所对应的数列 $\left\{ {f({x_n})} \right\}$ 有同一极限。
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例. （用海涅定理）证明当 $x \to 0$ 时， $f(x) = \sin \frac{1}{x}$ 的极限不存在。
证：
取 ${x_n} = \frac{1}{{n\pi }},\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n\pi }} = 0$
$f({x_n}) = \sin \frac{1}{{{x_n}}} = \sin n\pi = 0,\;\left\{ {f({x_n})} \right\} = \left\{ 0 \right\}$ （即数列的每一项都为0）
因此 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}) = 0$

取 ${x_n}^\prime = \frac{1}{{2n\pi + \frac{\pi }{2}}} \to 0$
$f({x_n}^\prime ) = \sin (2n\pi + \frac{\pi }{2}) = 1,\;\left\{ {f({x_n}^\prime )} \right\} = \left\{ 1 \right\}$ （即数列的每一项都为1）
因此 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}^\prime ) = 1$
因为 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}) \ne \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}^\prime )$
所以 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)$ 不存在（由海涅定理可知）
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（第10课完）

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