[原创]高等数学笔记(22)

【前言】
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【正文】

第3章 导数与微分

(1)由于自变量 x 的变化引起函数 y = f(x) 变化的“快慢”问题——函数的变化率/导数。
(2)由于自变量的微小改变(增量 \Delta x 很小时)引起 y = f(x) 的改变量 \Delta y 的近似值问题——微分问题。
(3)求导数或微分——微分法。

\xi 1 导数概念

一、两个实例
1.直线运动的瞬时速度问题
设质点沿直线作非匀速运动,其走过的路程 s 与时间 t 的函数关系 s = s(t) ,求某一时刻 {t_0} 时的瞬时速度。
设从时刻 {t_0}{t_0} + \Delta t 这段时间内质点走过的路程为 \Delta s = s({t_0} + \Delta t) - s({t_0})

{t_0}{t_0} + \Delta t 这段时间内,平均速度 \overline v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{s({t_0} + \Delta t) - s({t_0})}}{{\Delta t}}
对非匀速运动的质点,平均速度 \overline v 可以作为 {t_0} 时刻瞬时速度的近似值( {\Delta t} 很小时):
{\left. v \right|_{t = {t_0}}} \approx \overline v
\Delta t 越小, \overline v {\left. v \right|_{t = {t_0}}} 越接近。
如果当 \Delta t \to 0 时, \overline v 的极限存在,即:
\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \overline v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{s({t_0} + \Delta t) - s({t_0})}}{{\Delta t}} = {v_0}
则有 {\left. v \right|_{t = {t_0}}} = {v_0}
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2.曲线在一点处的切线斜率

切线:当 P' \to {P_0} 时,割线 {P_0}P' 的极限位置 {P_0}T 称为曲线的切线

割线: {P_0}({x_0},f({x_0})),P'({x_0} + \Delta x,f({x_0} + \Delta x))
割线斜率 \bar k = \tan {\alpha _1} = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}
P' \to {P_0} 时, \Delta x \to 0
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \bar k = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}
切线 {P_0}T 的斜率 k = \tan \alpha = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \bar k = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}
(注: \alpha 为切线的倾斜角)
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二、导数定义
<定义1> y = f(x)N({x_0},\delta ),\delta > 0 内有定义,当自变量 x{x_0} 点有增量 {\Delta x}{x_0} + \Delta x \in N({x_0},\delta ) ),函数 y = f(x) 相应的增量为 \Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) ,如果极限 \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} 存在,则称 y = f(x){x_0} 点可导,并称此极限值为 y = f(x){x_0} 点的导数。
记为:
y'{|_{x = {x_0}}},\;f'({x_0}),\;{\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}},\;{\left. {\frac{{df(x)}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}}
f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}
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直线运动的瞬时速度 v{|_{t = {t_0}}} = s'(t){|_{t = {t_0}}}
曲线在 ({x_0},f({x_0})) 的切线斜率 k{|_{x = {x_0}}} = f'({x_0})

导数定义的另一种极限形式—— y = f(x){x_0} 点的导数可以定义为:
若记 x = {x_0} + \Delta x (即 \Delta x = x - {x_0}
\Delta x \to 0 时, x \to {x_0}
\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f(x) - f({x_0})
f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}
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y = f(x){{x_0}} 点可导,记为 f(x) \in D({x_0})
y = f(x)(a,b) 内每一点处都可导,则称 y = f(x)(a,b) 内可导,记为 f(x) \in D(a,b)
y = f(x) 在区间 I 上可导,记为 f(x) \in D(I)
f(x)(a,b) 内可导, \forall x \in (a,b) ,就有 f'(x)x 对应,由函数定义,可知 f'(x) 是定义在 (a,b) 上的函数, f'(x) 称为导函数,一般还称为导数
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例1. 求函数 y = \frac{1}{{{x^2}}} 的导函数( x \ne 0
解:
y = \frac{1}{{{x^2}}} 定义域为 ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )
\forall x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty ) ,自变量有增量 \Delta x ,且 x + \Delta x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )
函数 y = \frac{1}{{{x^2}}} 对应的增量 \Delta y = \frac{1}{{{{(x + \Delta x)}^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{ - 2x \cdot \Delta x - {{(\Delta x)}^2}}}{{{x^2}{{(x + \Delta x)}^2}}}
作比值:
\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 2x - \Delta x}}{{{x^2}{{(x + \Delta x)}^2}}}
求极限:
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 2x - \Delta x}}{{{x^2}{{(x + \Delta x)}^2}}} = - \frac{2}{{{x^3}}}
{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = - \frac{2}{{{x^3}}}
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(第22课完)

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