[原创]高等数学笔记(18)

【前言】
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【正文】
函数 $y = f(x)$ 在一点 ${x_0}$ 处连续的定义：

设 $y = f(x)$ 在 $N({x_0})$ 内有定义（注意：在 ${x_0}$ 点也有定义）， $x \in N({x_0})$ ，如果当 $\Delta x = x - {x_0} \to 0$ 时，对应的函数的增量 $\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) \to 0$ ，则称 $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点处连续。
文章来源：http://www.codelast.com/
用极限形式表示就是 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$

另一种定义方式：
设 $y = f(x)$ 在 $N({x_0})$ 内有定义， $x \in N({x_0})$ ，如果 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$ ，则称 $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点处连续。

如果 $y = f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点处都连续，则称 $y = f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，记为 $f(x) \in C(a,b)$ （注： $C$ 表示连续）， $(a,b)$ 称为 $y = f(x)$ 的连续区间。

左连续、右连续的定义
如果 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = f({x_0})$ ，则称 $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点左连续。
如果 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = f({x_0})$ ，则称 $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点右连续。

如果 $y = f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，且在 $a$ 点处 $f(x)$ 右连续，在 $b$ 点处 $f(x)$ 左连续，则称 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，记为 $f(x) \in C[a,b]$
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例1. 证明 $y = \sqrt x$ 在 $(0, + \infty )$ 内处处连续。
证：
$\forall x \in (0, + \infty )$ ，设 $x$ 有增量 $\Delta x$
$x + \Delta x \in (0, + \infty )$
$\Delta y = \sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x = \frac{{\left( {\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x }} = \frac{{\Delta x}}{{\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x }}$
两边取绝对值：
$\left| {\Delta y} \right| = \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x }} < \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\sqrt x }}$
即： $0 \le \left| {\Delta y} \right| \le \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\sqrt x }}$
因为 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left| {\Delta x} \right|}}{{\sqrt x }} = 0$
所以由夹挤准则得 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$
所以 $y = \sqrt x$ 在 $(0, + \infty )$ 内连续。
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二、函数的间断点
间断点：若函数 $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点不连续，则称 ${x_0}$ 为 $y = f(x)$ 的间断点。

那么，什么叫“不连续”呢？
分析：
函数 $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点处连续 $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$
要求：
（1） $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点有定义 $f({x_0})$ ；
（2） $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ 存在，即 $f({x_0} - 0)$ （左极限）， $f({x_0} + 0)$ （右极限）都存在；
（3） $f({x_0} - 0) = f({x_0} + 0) = f({x_0})$ 。
以上三个条件之一不满足的话， $f(x)$ 就在 ${x_0}$ 点间断。
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间断点可以分为两类：
第一类间断点：若 $f({x_0} - 0)$ （左极限）， $f({x_0} + 0)$ （右极限）都存在，但 $f({x_0} - 0) \ne f({x_0} + 0)$ ，或者 $f({x_0} - 0) = f({x_0} + 0) \ne f({x_0})$ ，或者 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点无定义，则称 ${x_0}$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点。

例如：
设 $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1,\;x < 1}\\{{x^2},\;x \ge 1}\end{array}} \right.$
左极限 $f(1 - 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + 1) = 2$
右极限 $f(1 + 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1$
所以 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ 不存在
所以 $x = 1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点
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又例如： $g(x) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2$
即 $g(1 - 0) = g(1 + 0) = 2$ ，左、右极限都存在
但 $g(x)$ 在 $x = 1$ 点无定义
所以 $x = 1$ 是 $g(x)$ 的第一类间断点
若补充 $g(x)$ 定义： $g(1) = 2$ ，则 $g(x)$ 在 $x = 1$ 连续。
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又例如： $\varphi (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sin \frac{1}{x},\;x \ne 0}\\{1,\;x = 0}\end{array}} \right.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \varphi (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0$
（注：由 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0$ 可知当 ${x \to 0}$ 时， $x$ 是一个无穷小量，又因为 $\sin \frac{1}{x}$ 是有界函数，且有界函数与无穷小的乘积为无穷小，故可得 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0$ ）
上式极限为0，即左、右极限均存在
所以 $\varphi (0 - 0) = \varphi (0 + 0) = 0 \ne \varphi (0) = 1$
所以 $x = 0$ 是 $\varphi (x)$ 的第一类间断点
若改变 $\varphi (x)$ 的定义，使 $\varphi (0) = 0$ ，则 $\varphi (x)$ 在 $x = 0$ 点连续。
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在第一类间断点中，把 $f({x_0} - 0) = f({x_0} + 0)$ （即左极限=右极限）的间断点称为可去间断点。

第二类间断点：不是第一类间断点，就统称为第二类间断点，即左极限 $f({x_0} - 0)$ 与右极限 $f({x_0} + 0)$ 中，至少有一个不存在。

例如：对函数 $f(x) = \frac{1}{{x - 1}}$ ，有 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \infty$
所以 $x = 1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点。

又如：对函数 $f(x) = \sin \frac{1}{x}$ ， $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$ 不存在（讲海涅定理的时候说过）
所以 $x = 0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点。
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（第18课完）

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