【正文】
注意：
1. 不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈；
2. 无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大。
我们来证明一下结论2。先证明无穷大一定是无界函数。
证：设 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \infty \) （或 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \infty \) ），即 \(f(x)\) 是无穷大
对任意给定的正数 \(M > 0\) （无论多么大），一定存在 \(\delta > 0\) （存在 \(N > 0\) ），使得：
\(\left| {f(x)} \right| > M\) （对 \(\forall x \in N({{\hat x}_0},\delta )\) ，或 \(\left| x \right| > N\) ）
所以，在 \(N({{\hat x}_0},\delta )\) 内（或 \(\left| x \right| > N\) ）， \(f(x)\) 无界。
证毕。
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再证明无界函数不一定是无穷大。
证：
此处举一个实例即可证明这一点。证明 \(f(x) = x\sin x\) 在 \((0, + \infty )\) 内是无界函数；但是当 \(x \to + \infty \) 时， \(f(x)\) 不是无穷大。
先证 \(f(x) = x\sin x\) 在 \((0, + \infty )\) 内是无界函数。
对任何 \(M > 0\) （无论多么大），现取足够大的正整数 \(n\) ，使 \({x_n} = 2n\pi + \frac{\pi }{2} > M\) ，则：
\(f({x_n}) = {x_n}\sin {x_n} = (2n\pi + \frac{\pi }{2})\sin (2n\pi + \frac{\pi }{2}) = (2n\pi + \frac{\pi }{2}) \cdot 1 > M\)
可见， \(f(x)\) 在 \((0, + \infty )\) 内是无界的。
再证 \(x \to + \infty \) 时， \(f(x) = x\sin x\) 不是无穷大。
给定 \(M = 1\) ，则无论多么大的正整数 \(N\) ，当 \(n > N\) 时， \({x_n} = n\pi > N\)
\(f({x_n}) = {x_n}\sin {x_n} = n\pi \sin n\pi = 0 < 1 = M\)
所以 \(f(x)\) 不是无穷大。即，当 \(x \to + \infty \) 时， \(f(x)\) 不是无穷大。
证毕。
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3. 无穷小与无穷大的关系
定理：如果当 \({x \to {x_0}}\) （或 \({x \to \infty }\) ）时 \(f(x)\) 是无穷大，则 \(\frac{1}{{f(x)}}\) 是无穷小，如果当 \({x \to {x_0}}\) （或 \({x \to \infty }\) ）时 \(f(x)\) 是无穷小，且 \(f(x) \ne 0\) ，则 \(\frac{1}{{f(x)}}\) 是无穷大。
证：
下面只证 \(x \to {x_0}\) 的情形， \(x \to \infty \) 的情形可类推。
①设 \(x \to {x_0}\) 时， \(f(x)\) 是无穷大，即 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \infty \)
任意给定 \(\varepsilon > 0\) ，因 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \infty \) ，对于正数 \(M = \frac{1}{\varepsilon }\) ，一定存在 \(\delta > 0\) ，使适合不等式 \(0 < \left| {x - x0} \right| < \delta \) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f(x)\) 满足 \(\left| {f(x)} \right| > M = \frac{1}{\varepsilon }\)
因此 \(\left| {\frac{1}{{f(x)}}} \right| < \varepsilon \) ，即 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{f(x)}} = 0\)
即当 \(x \to {x_0}\) 时， \(\frac{1}{{f(x)}}\) 是无穷小。
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②设当 \(x \to {x_0}\) 时， \(f(x)\) 是无穷小，且 \(f(x) \ne 0\)
任意给定正数 \(M > 0\) （无论多么大），因 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0\)
对 \(\varepsilon = \frac{1}{M}\) ，一定存在 \(\delta > 0\) ，使适合不等式 \(0 < \left| {x - x0} \right| < \delta \) 的一切 \(x\) 所对应的 \(f(x)\) 满足 \(\left| {f(x)} \right| < \varepsilon = \frac{1}{M} \Rightarrow \left| {\frac{1}{{f(x)}}} \right| > M\)
即当 \(x \to {x_0}\) 时， \(\frac{1}{{f(x)}}\) 是无穷小。
证毕。
四、海涅定理/Heine定理
连续自变量 \(x\) 的函数 \(f(x)\) 的极限 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) （或 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)\) ）存在的充分必要条件：对任选的数列 \(\left\{ {{x_n}|{x_n} \to {x_0},{x_n} \ne {x_0}} \right\}\) （或 \({x_n} \to \infty \) ），其所对应的数列 \(\left\{ {f({x_n})} \right\}\) 有同一极限。
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例. （用海涅定理）证明当 \(x \to 0\) 时， \(f(x) = \sin \frac{1}{x}\) 的极限不存在。
证：
取 \({x_n} = \frac{1}{{n\pi }},\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{n\pi }} = 0\)
\(f({x_n}) = \sin \frac{1}{{{x_n}}} = \sin n\pi = 0,\;\left\{ {f({x_n})} \right\} = \left\{ 0 \right\}\) （即数列的每一项都为0）
因此 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}) = 0\)
取 \({x_n}^\prime = \frac{1}{{2n\pi + \frac{\pi }{2}}} \to 0\)
\(f({x_n}^\prime ) = \sin (2n\pi + \frac{\pi }{2}) = 1,\;\left\{ {f({x_n}^\prime )} \right\} = \left\{ 1 \right\}\) （即数列的每一项都为1）
因此 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}^\prime ) = 1\)
因为 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}) \ne \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}^\prime )\)
所以 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\) 不存在（由海涅定理可知）
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（第10课完）
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