[原创]高等数学笔记(12)

【前言】
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【正文】
<定理>  \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A (或 \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A ),A为常数  \Leftrightarrow \;f(x) = A + \alpha (x) ,且 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0 (或 \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \alpha (x) = 0

证:
左推右:设 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A (或 \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A ,下面只证前一种情况),根据函数极限定义,对任意给定的 \varepsilon > 0 ,一定存在 \delta > 0 ,使得适合不等式 0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta 的一切 x 所对应的 f(x) ,恒有 \left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon
\alpha (x) = f(x) - A ,就有 \left| {\alpha (x)} \right| < \varepsilon
从而有 f(x) = A + \alpha (x),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0
文章来源:http://www.codelast.com/
右推左:设 f(x) = A + \alpha (x),\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0
根据极限定义,对任意给定的 \varepsilon > 0 ,一定存在 \delta > 0 ,使得凡是适合不等式 0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta 的一切 x 所对应的 f(x) ,恒有 \left| {\alpha (x)} \right| < \varepsilon
f(x) = A + \alpha (x) \Rightarrow \alpha (x) = f(x) - A
\left| {\alpha (x)} \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon ,即 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A
证毕。

三、无穷小的性质
1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
证:
只证两个无穷小的情形(更多个的情形,用数学归纳法便可得结果)。
设有 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \beta (x) = 0 ,需要证明: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\alpha (x) + \beta (x)} \right] = 0
由极限定义可知:任意给定正数 \varepsilon > 0 ,对正数 \frac{\varepsilon }{2} > 0 ,一定存在 {\delta _1} > 0 ,使得凡是适合不等式 0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _1} 的一切 x 所对应的 \alpha (x) ,恒有 \left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}
同理,对正数 \frac{\varepsilon }{2} > 0 ,一定存在 {\delta _2} > 0 ,使得凡是适合不等式 0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _2} 的一切 x 所对应的 \beta (x) ,恒有 \left| {\beta (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}
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\delta = \min \left\{ {{\delta _1},{\delta _2}} \right\} > 0 ,当 0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta 时,这些 x 所对应的 {\alpha (x)}{\beta (x)} 同时满足:
\left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2},\;\left| {\beta (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2}
从而有:
\left| {\alpha (x) + \beta (x)} \right| \le \left| {\alpha (x)} \right| + \left| {\beta (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon
因此 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\alpha (x) + \beta (x)} \right] = 0 ,即当 {x \to {x_0}} 时, {\alpha (x) + \beta (x)} 是无穷小。
证毕。

2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
证:
f(x)N({{\hat x}_0},{\delta _1}),\;{\delta _1} > 0 内有界,即存在 M > 0,\;{\delta _1} > 0 ,使得 f(x) \le M,\;x \in N({{\hat x}_0},{\delta _1})
又设 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0 (即当 {x \to {x_0}} 时, \alpha (x) 是无穷小)
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要证明的是:当 {x \to {x_0}} 时, f(x)\alpha (x) 是无穷小。
即要证: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x)\alpha (x)} \right] = 0
根据极限,任意给定 \varepsilon > 0 ,对 \frac{\varepsilon }{M} > 0 ,一定存在 {\delta _2} > 0 ,使得适合不等式 0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _2} 的一切 x 所对应的 \alpha (x) 恒有 \left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{M}
现取 \delta = \min \left\{ {{\delta _1},{\delta _2}} \right\} > 0 ,则凡是适合不等式 0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta 的一切 x ,都会使 \left| {f(x)} \right| \le M ,且 \left| {\alpha (x)} \right| < \frac{\varepsilon }{M}
从而有 \left| {f(x)\alpha (x)} \right| = \left| {f(x)} \right|\left| {\alpha (x)} \right| < M \cdot \frac{\varepsilon }{M} = \varepsilon
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x)\alpha (x)} \right] = 0
证毕。

对一个常数 C,\;f(x) \equiv C 为有界函数;对 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \gamma (x) = 0 ,在 N({{\hat x}_0})\gamma (x) 是有界函数,所以有:
{1^ \circ } 常数与无穷小的乘积仍是无穷小
{2^ \circ } 两个无穷小的乘积仍是无穷小(有限个无穷小的乘积仍是无穷小)
{3^ \circ } \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A \ne 0,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0 (或 x \to \infty ),则 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} = 0 (或 x \to \infty
证:
\frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} = \frac{1}{{f(x)}} \cdot \alpha (x)
要证 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} = 0 (即 \frac{{\alpha (x)}}{{f(x)}} 是无穷小),只需证 \frac{1}{{f(x)}} 是有界的,再由性质 {2^ \circ } 就可得到性质 {3^ \circ } 的结论。
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因为 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A \ne 0 ,由极限定义,对给定正数 \varepsilon = \frac{{\left| A \right|}}{2} > 0 ,必定存在 \delta > 0 ,使得凡是适合不等式 0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta 的一切 x 所对应的 f(x) ,恒有 \left| {f(x) - A} \right| < \frac{{\left| A \right|}}{2}
又由 \left| A \right| - \left| {f(x)} \right| \le \left| {f(x) - A} \right| < \frac{{\left| A \right|}}{2} \Rightarrow \left| A \right| - \left| {f(x)} \right| < \frac{{\left| A \right|}}{2} \Rightarrow \left| A \right| - \frac{{\left| A \right|}}{2} < \left| {f(x)} \right| (注:两个数差的绝对值一定  \ge 它们绝对值的差)
因此 0 < \frac{{\left| A \right|}}{2} < \left| {f(x)} \right|
因此 \left| {\frac{1}{{f(x)}}} \right| < \frac{2}{{\left| A \right|}}\frac{2}{{\left| A \right|}} 相当于有界函数定义中的 M
因此 {\frac{1}{{f(x)}}}N({{\hat x}_0},\delta ) 内是有界的。
所以结论成立。
证毕。
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(第12课完)

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