【正文】
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\)
\(x\) 可以从 \({x_0}\) 的左侧趋于 \({x_0}\) ，也可以从右侧趋于 \({x_0}\) 。
当从 \({x_0}\) 的左侧趋于 \({x_0}(x < {x_0})\) 时，记为 \(x \to {x_0}^ - \) ，或 \(x \to {x_0} - 0\)
左极限：对于任意 \(\varepsilon > 0\) ，都存在 \(\delta > 0\) ，凡适合 \({x_0} - \delta < x < {x_0}\) 的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足 \(\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon \) ，则称 \(A\) 为 \(f(x)\) 的左极限。记为：
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = A\) 或 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} - 0} f(x) = A\)
可统一表示为 \(f({x_0} - 0) = A\)
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右极限：把定义中 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) 改为 \({x_0} < x < {x_0} + \delta \) ，其他不变，则得到右极限的定义。记为：
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = A\) 或 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} f(x) = A\)
可统一表示为 \(f({x_0} + 0) = A\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\; \Leftrightarrow \;f({x_0} - 0),f({x_0} + 0)\) 都存在且极限值都等于 \(A\)
（注： \( \Leftrightarrow \) 表示充分必要条件）
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二、自变量 \(x\) 趋向于无穷大（记为 \(x \to \infty \) ）时函数 \(f(x)\) 的极限
数列 \({u_n} = f(n)\) ，当 \(n \to \infty \) 时的极限，可以看作是 \(f(x)\) 当 \(x \to \infty \) 时的极限的特殊情形。
依照数列极限定义，给出 \(f(x)\) 当 \(x \to \infty \) 时的极限定义：
设函数 \(f(x)\) 在 \(\left| x \right|\) 充分大时有定义， \(A\) 为常数，如果对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\) ，都存在正数 \(N\) ，使得凡是适合 \(\left| x \right| > N\) 的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足 \(\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon \) ，则称当 \(x \to \infty \) 时， \(f(x)\) 以 \(A\) 为极限。记为：
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A\) 或 \(f(x) \to A\;(x \to \infty )\)
如果只考虑 \(x > 0\) ，且 \(\left| x \right|\) 无限增大（记为 \(x \to + \infty \) ），上面定义中把 \(\left| x \right| > N\) 改为 \(x > N\) ，就得到 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = A\) 的定义。
如果只考虑 \(x < 0\) ，且 \(\left| x \right|\) 无限增大（记为 \(x \to - \infty \) ），上面定义中把 \(\left| x \right| > N\) 改为 \(x < - N\) ，就得到 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = A\) 的定义。
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A\; \Leftrightarrow \;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)\) 和 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)\) 都存在且等于 \(A\)
（注： \( \Leftrightarrow \) 表示充分必要条件）
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例：证明 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{1 + {x^2}}} = 0\)
证：
\(f(x) = \frac{1}{{1 + {x^2}}},\;A = 0\)
\(\left| {f(x) - A} \right| = \left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - 0} \right| = \frac{1}{{1 + {x^2}}} < \frac{1}{{{x^2}}} < \varepsilon \)
对任意给定的 \(\varepsilon > 0\) ，为了使 \(\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon \) ，只需 \(\frac{1}{{{x^2}}} < \varepsilon \) ，即 \({x^2} > \frac{1}{\varepsilon } \Rightarrow \left| x \right| > \frac{1}{{\sqrt \varepsilon }}\)
因此，对任意给定的 \(\varepsilon > 0\) ，取 \(N = \frac{1}{{\sqrt \varepsilon }}\) ，凡是适合不等式 \(\left| x \right| > N\) 的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足：
\(\left| {f(x) - A} \right| = \left| {\frac{1}{{1 + {x^2}}} - 0} \right| < \varepsilon \)
按定义，有 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{1 + {x^2}}} = 0\)
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三、无穷小量与无穷大量
1. 无穷小（量）
如果 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0\) （或 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = 0\) ），则称当 \(x \to {x_0}\) （或 \(x \to \infty \) ）时， \(f(x)\) 是无穷小（量）。
注意：
①不能把一个很小的数看作无穷小。
②常数0可以看作是无穷小的唯一一个常数。
2. 无穷大（量）
如果当 \(x \to {x_0}\) （或 \(x \to \infty \) ）时，对应的函数值 \(f(x)\) 的绝对值无限增大，则称当 \(x \to {x_0}\) （或 \(x \to \infty \) ）时， \(f(x)\) 是无穷大（量）。
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或者这样表述：
若对于任意给定的正数 \(M > 0\) （无论 \(M\) 多么大），总存在 \(\delta > 0\) ，凡是适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) 的一切 \(x\) ，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足 \(\left| {f(x)} \right| > M\) ，则称当 \(x \to {x_0}\) 时， \(f(x)\) 是无穷大，记为 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \infty \)
注意：上式并不说明极限存在，只是说明其极限为无穷大量，无穷大不是一个常数。
把上面定义中的“总存在 \(\delta > 0\) ，凡是适合不等式 \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta \) 的一切 \(x\) ”改为“总存在正数 \(N\) ，凡是适合不等式 \(\left| x \right| > N\) 的一切 \(x\) ”，其余表述不变，则得到 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \infty \)
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（第9课完）
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