[原创]高等数学笔记(8)

【前言】
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【正文】
一、自变量 $x$ 趋向于定值 ${x_0}$ 时， $f(x)$ 的极限
假设函数 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的某邻域内有定义（在 ${x_0}$ 点 $f(x)$ 可以无定义，这并不影响我们讨论问题），问题：当 $x$ 任意地趋近于 ${x_0}$ 时，即 $x \to {x_0}$ 时，对应函数值 $f(x)$ 是否无限接近于常数A？

分析：当 $x \to {x_0}$ 的过程中，对应函数值 $f(x)$ 无限接近于常数 $A \Leftrightarrow$ 当 $x \to {x_0}$ 的过程中， $|f(x) - A|$ 能任意地小 $\Leftrightarrow$ 当 $x \to {x_0}$ 的过程中，对任意给定的整数 $\varepsilon > 0,\;\;|f(x) - A| < \varepsilon$
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当 $x \to {x_0}$ 的过程中，只有充分接近 ${x_0}$ 的那些 $x$ ，才能使 $|f(x) - A| < \varepsilon$ 。
“充分接近 ${x_0}$ 的那些 $x$ ”这句话这样来定义：存在一个很小的正数 $\delta > 0,\;\;0 < |x - {x_0}|$ 这样一个不等式就描述了 $x$ 充分接近 ${x_0}$ 。

定义：设有函数 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的某一去心邻域内有定义， $A$ 为一常数。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon > 0$ ，都存在一个正数 $\delta > 0$ ，使得适合不等式 $0 < |x - {x_0}| < \delta$ 的一切 $x$ 所对应的函数值 $f(x)$ 都满足：

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

则称 $x \to {x_0}$ 时， $f(x)$ 以 $A$ 为极限。记为：
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ ，或 $f(x) \to A\;(x \to {x_0})$
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$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ 的几何意义（如下图所示）：对常数 $A,\varepsilon > 0$ ，在 $xOy$ 平面上作直线 $y = A + \varepsilon ,\;y = A - \varepsilon$ ，对 $\delta > 0$ ，得邻域 $N({{\hat x}_0},\delta )$ ，当 $x \in N({{\hat x}_0},\delta )\;(x \ne {x_0})$ 时，由定义可知，点 $M(x,f(x))$ 一定在 $y = A - \varepsilon$ 与 $y = A + \varepsilon$ 的区域内。

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下面用 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ 定义来证明一些函数极限等式。

例1.  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} C = C$
证：
$f(x) \equiv C,\;{x_0}$ 为一定值， $A = C$
$f(x) - A = C - C \equiv 0$
因此，对任意给定的 $\delta > 0$ ，凡是适合 $0 < |x - {x_0}| < \delta$ 的一切 $x$ ，都使 $|f(x) - A| = 0 < \varepsilon$
所以，按极限定义得 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} C = C$
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例2. 证明 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$
证：
$f(x) = x,\;A = {x_0},\;\;|f(x) - A| = |x - {x_0}|$
因此，对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，取 $\delta = \varepsilon$ ，则当 $0 < |x - {x_0}| < \delta = \varepsilon$ 时，都能使 $|f(x) - A| = |x - {x_0}| < \varepsilon$
按极限定义，有 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$
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例3. 证明 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3x - 5) = - 2$
证：
$f(x) = 3x - 5,\;{x_0} = 1,\;A = - 2$
$|f(x) - A| = |(3x - 5) - ( - 2)| = |3x - 3| = 3|x - 1|$
对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，为了使 $3|x - 1| < \varepsilon$ （即 $|x - 1| < \frac{\varepsilon }{3}$ ），可以取 $\delta = \frac{\varepsilon }{3}$ ，则适合不等式 $0 < |x - 1| < \delta$ 的一切 $x$ 都能使 $|f(x) - A| = 3|x - 1| = 3 \cdot \frac{\varepsilon }{3} = \varepsilon$
按照极限的定义，有 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (3x - 5) = - 2$
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例4. 证明 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{2}$
证：
$f(x) = \frac{1}{{1 + \sqrt x }},\;\;{x_0} = 1,\;\;A = \frac{1}{2}$
$|f(x) - A| = \left| {\frac{1}{{1 + \sqrt x }} - \frac{1}{2}} \right| = \left| {\frac{{1 - \sqrt x }}{{2(1 + \sqrt x )}}} \right| = \left| {\frac{{(1 - \sqrt x )(1 + \sqrt x )}}{{2{{(1 + \sqrt x )}^2}}}} \right| = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{2{{(1 + \sqrt x )}^2}}} < \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{2} < \varepsilon$
则当 $\left| {x - 1} \right| < 2\varepsilon$ 时，就有 $|f(x) - A| < \varepsilon$
因此，对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，取 $\delta = 2\varepsilon$ ，则适合 $0 < |x - 1| < \delta$ 的一切 $x$ ，都使得 $|f(x) - A| = \left| {\frac{1}{{1 + \sqrt x }} - \frac{1}{2}} \right| < \varepsilon$
按照极限的定义，有 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{2}$
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（第8课完）

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