【正文】
四、连续函数在闭区间上的性质
函数在区间 \(I\) 上的最大、最小值定义：
设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义，如果 \({x_0} \in I\) ，使得 \(\forall x \in I\) ，都有 \(f({x_0}) \le f(x)\) （或 \(f({x_0}) \ge f(x)\) ），则称 \(f({x_0})\) 是 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的最小值（或 \(f({x_0})\) 是 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的最大值），记为：
\(\mathop {\min }\limits_{x \in I} f(x) = f({x_0})\) （或 \(\mathop {\max }\limits_{x \in I} f(x) = f({x_0})\) ）
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1.最大、最小值定理
闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值，即：若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续（记为 \(f(x) \in C\left[ {a,b} \right]\) ），则必定存在 \(\xi ,\eta \in [a,b]\) ，使得：
\(\mathop {\min }\limits_{x \in [a,b]} f(x) = f(\xi ),\;\mathop {\max }\limits_{x \in [a,b]} f(x) = f(\eta )\)
即： \(f(\xi ) \le f(x) \le f(\eta ),\;x \in [a,b]\)
注意：“闭区间”、“连续”这两个条件不可少。
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例如： \(y = \frac{1}{x}\) 在 \((0,1)\) 连续，但它既无最大值，也无最小值。
又如：
函数图像如下图所示：
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2.有界性定理
在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。
证：设 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，由性质1（最大、最小值定理）可知：一定存在最大值 \(M\) 和最小值 \(m\) ，使 \(m \le f(x) \le M,\;x \in [a,b]\)
所以 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上既有上界，也有下界 \( \Rightarrow f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。
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3.零值点定理
使函数 \(f(x)\) 的函数值等于0的点 \({x_0}\) （即 \(f({x_0}) = 0\) ）称为 \(f(x)\) 的零值点。
设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号（即 \(f(a)f(b) < 0\) ），则至少存在一点 \(\xi \) ，使 \(f(\xi ) = 0\) 。
若 \(y = f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则函数曲线 \(y = f(x)\) 是连续曲线，两端点为 \(A(a,f(a)),B(b,f(b))\) 。
因为 \(f(a),f(b)\) 异号，点 \(A,B\) 在 \(x\) 轴上、下两侧，连接 \(A,B\) 的连续曲线必定与 \(x\) 轴相交，此交点即为 \(f(x)\) 的零值点。
设 \(f(x) \in C\left[ {a,b} \right]\) （即在 \([a,b]\) 上连续），且 \(f(a) = A,f(b) = B,A \ne B\) ，则对于数 \(C\) （ \(C\) 介于 \(A,B\) 之间），则至少存在一点 \(\xi \) ，使 \(f(\xi ) = C\) 。
证：
不妨设 \(A < B\) ，即 \(A < C < B\)
作函数 \(F(x) = f(x) - C\) 在 \([a,b]\) 上连续（两个连续函数的差是连续的）
\(F(a) = f(a) - C = A - C < 0\)
\(F(b) = f(b) - C = B - C > 0\)
所以 \(F(a),F(b)\) 异号
所以由结论3可得结论4。
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推论：设 \(f(x) \in C\left[ {a,b} \right]\) ，令 \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in [a,b]} f(x),M = \mathop {\max }\limits_{x \in [a,b]} f(x)\) ，则 \(m < M\) ，而数 \(\mu :\;\;m < \mu < M\) ，则至少存在一点 \(\xi \) ，使 \(f(\xi ) = \mu \)
证：
由性质1可知，至少存在点 \({x_1},{x_2} \in [a,b]\) ，使 \(f({x_1}) = m,f({x_2}) = M\)
则函数 \(f(x)\) 在 \([{x_1},{x_2}]\) 或 \([{x_2},{x_1}]\) 上是连续的（注：因为不知道 \({x_1},{x_2}\) 谁大谁小，所以有两种情况）
在 \([{x_1},{x_2}]\) 或 \([{x_2},{x_1}]\) 上利用性质4即得结论。
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例1. 设 \(f(x) \in C\left( {a,b} \right)\) （即 \(f(x)\) 在开区间 \((a,b)\) 内连续）， \({x_i} \in (a,b)\;(i = 1,2, \cdots ,n)\) ，请证明：至少存在一点 \(\xi \in (a,b)\) ，使得 \(f(\xi ) = \frac{{f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n})}}{n}\)
证：
令 \(c = \min \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} ,\;d = \max \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} \)
则 \([c,d] \subset (a,b)\) ，且 \(f(x) \in C\left[ {c,d} \right]\)
由性质1可知，一定存在 \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in [c,d]} f(x),M = \mathop {\max }\limits_{x \in [c,d]} f(x)\)
从而有 \(m \le f({x_1}) \le M,\;m \le f({x_2}) \le M,\; \cdots ,m \le f({x_n}) \le M\)
n个不等式相加：
\(nm \le f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n}) \le nM\)
\(m \le \frac{{f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n})}}{n} \le M\)
由性质4推论即得结论成立：至少存在一点 \(\xi \in [c,d] \subset (a,b)\) ，使 \(f(\xi ) = \frac{{f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n})}}{n}\)
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（第21课完）
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