[原创]高等数学笔记(17)

【前言】
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【正文】

这里讨论的 $\alpha ,\beta$ 都是同一个自变量作同一变化过程中的无穷小，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 之比也是同一个变化过程中的极限。

<定义>设 $\alpha ,\beta$ 是两个无穷小，如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha } = 0$ ，就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记为 $\beta = o(\alpha )$ ；
如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha } = \infty$ ，就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；
如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha } = C \ne 0$ ，就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。特例： $C = 1$ ，就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记为 $\alpha \sim \beta$ 。
文章来源：http://www.codelast.com/
例如，当 $x \to 0$ 时， $x,{x^2},\frac{1}{2}{x^2},1 - \cos x,\tan x$ 都是无穷小。
因为 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{\frac{1}{2}{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{2} \cdot {{\left( {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right)}^2}} \right] = \frac{1}{2} \cdot {1^2} = \frac{1}{2}$
所以当 $x \to 0$ 时， ${1 - \cos x}$ 与 ${{x^2}}$ 是同阶无穷小。
因为 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{\frac{1}{2}{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{\left( {2 \cdot \frac{1}{2}} \right) \cdot \frac{1}{2}{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}} = {\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right)^2} = {1^2} = 1$
所以当 $x \to 0$ 时， $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}{x^2}$ （等价无穷小）
因为 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos x}} = 1 \cdot 1 = 1$
所以当 $x \to 0$ 时， $\tan x \sim x$ （等价无穷小）
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等价无穷小代换定理
设 $\alpha \sim \alpha ',\;\beta \sim \beta '$ ，且 $\lim \frac{{\beta '}}{{\alpha '}}$ 存在，则 $\lim \frac{\beta }{\alpha }$ 存在，且 $\lim \frac{\beta }{\alpha } = \lim \frac{{\beta '}}{{\alpha '}}$
证：
因为 $\alpha \sim \alpha '$  所以 $\lim \frac{{\alpha '}}{\alpha } = 1$
因为 $\beta \sim \beta '$  所以 $\lim \frac{\beta }{{\beta '}} = 1$
所以 $\lim \frac{\beta }{\alpha } = \lim \left( {\frac{\beta }{{\beta '}} \cdot \frac{{\beta '}}{{\alpha '}} \cdot \frac{{\alpha '}}{\alpha }} \right) = \lim \frac{\beta }{{\beta '}} \cdot \lim \frac{{\beta '}}{{\alpha '}} \cdot \lim \frac{{\alpha '}}{\alpha } = \lim \frac{{\beta '}}{{\alpha '}}$

例1. 求 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2} + {x^3}}}$
解：
原式 $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}(1 + x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{1 + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} \cdot 1 = 1$
（注：由于 $x \to 0$ 时， $\sin x \sim x$ ，故 ${\sin ^2}x \sim {x^2}$ ；倒数第二步的分母 ${x^2}$ 不用等价无穷小来替换，直接写就可以了）
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例2. 求 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{{\tan }^2}2x}}$
解：
前面已经证明了 $x \to 0$ 时 $1 - \cos x \sim \frac{{{x^2}}}{2}$ ；
$x \to 0$ 时 $\tan x \sim x$ ，则 $\tan 2x \sim 2x$ ， ${\tan ^2}2x \sim {\left( {2x} \right)^2}$
所以原式 $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{2}{x^2}}}{{{{\left( {2x} \right)}^2}}} = \frac{1}{8}$

例3. 求 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}}$
解：
错误的做法：原式 $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 0 = 0$
（由于分子中有减号隔开，所以不能那样替换等价无穷小）
正确的做法：原式 $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \sin x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin x}}{x} \cdot \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}\cos x}}} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos x}} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
（注： $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} = \frac{1}{2}$ 是因为 $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}{x^2}$ ）
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记住一些常用的等价无穷小：
当 $u \to 0$ 时，
$\sin u \sim u$
$\tan u \sim u$
$\arcsin u \sim u$
$\arctan u \sim u$
$\ln (1 + u) \sim u$
${e^u} - 1 \sim u$
$1 - \cos u \sim \frac{1}{2}{u^2}$
$\sqrt {1 + u} - 1 \sim \frac{1}{2}u$

当 $x \to 0$ 时， $\sin {x^2} \sim {x^2}$ 是因为可将 ${x^2}$ 看作 $u$ （复合函数）。
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一、函数连续性定义
变量 $u$ 的增量（或改变量） $\Delta u$ ：
设变量 $u$ 由初始值 ${u_1}$ 变化到终值 ${u_2}$ ，则称 ${u_2} - {u_1}$ 为变量 $u$ 在 ${u_1}$ 处的增量（或改变量），记为 $\Delta u = {u_2} - {u_1}$

函数 $y = f(x)$ 的增量 $\Delta y$ ：
设函数 $y = f(x)$ 在 $N({x_0})$ 内有定义，自变量从 ${x_0}$ 变化到 ${x_0} + \Delta x \in N({x_0})$ ，函数 $y = f(x)$ 相应地从 $f({x_0})$ 变化到 $f({x_0} + \Delta x)$ ，因此 $y = f(x)$ 在 ${x_0}$ 点处的增量为 $\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})$
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（第17课完）

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