原创

【前言】
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【正文】
例2. 重要极限之一： $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{{\sin \alpha }}{\alpha } = 1$

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【正文】
例3. 求 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}$

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【正文】
四、极限的四则运算公式
以下公式中，自变量都是 $x \to {x_0}$ ，或者都是 $x \to \infty$
设 $\lim f(x) = A,\;\lim g(x) = B$ ，则有：

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【正文】
<定理>  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A$ ），A为常数 $\Leftrightarrow \;f(x) = A + \alpha (x)$ ，且 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \alpha (x) = 0$ ）

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【正文】

一、极限值与函数值的关系
1. （极限值的唯一性）如果 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ 存在，则其极限值是唯一的

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【正文】
注意：
1. 不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈；
2. 无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大。

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【正文】
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$

$x$ 可以从 ${x_0}$ 的左侧趋于 ${x_0}$ ，也可以从右侧趋于 ${x_0}$ 。

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【正文】
一、自变量 $x$ 趋向于定值 ${x_0}$ 时， $f(x)$ 的极限
假设函数 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的某邻域内有定义（在 ${x_0}$ 点 $f(x)$ 可以无定义，这并不影响我们讨论问题），问题：当 $x$ 任意地趋近于 ${x_0}$ 时，即 $x \to {x_0}$ 时，对应函数值 $f(x)$ 是否无限接近于常数A？

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【正文】
例：证明数列 $\{ {u_n}\} = \{ {( - 1)^n}\frac{n}{{n + 1}}\}$ 是发散的。

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【正文】
数列极限定义：已知数列 $\left\{ {{u_n}} \right\}$ 和常数 $A$ ，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，都存在正整数 $N$ ，使得对于 $n > N$ 的一切 ${{u_n}}$ ，不等式 $|{u_n} - A| < \varepsilon$ 恒成立，则称当 $n \to \infty$ 时， $\left\{ {{u_n}} \right\}$ 以 $A$ 为极限，或 $\left\{ {{u_n}} \right\}$ 收敛于 $A$ 。

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【正文】
三、双曲函数
双曲正弦函数 $shx = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}$
双曲余弦函数 $chx = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}$
双曲正切函数 $thx = \frac{{shx}}{{chx}} = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}$

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【正文】
1. 复合函数
$y = f(u),\;u = \varphi (x)\; \Rightarrow \;y = f[\varphi (x)]$
注意： $f[\varphi (x)]$ 与 $\varphi (x)$ 定义域不一定相同。

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