【正文】
三、双曲函数
双曲正弦函数 \(shx = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}\)
双曲余弦函数 \(chx = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}\)
双曲正切函数 \(thx = \frac{{shx}}{{chx}} = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)
以上函数与三角函数有类似性质：
\(c{h^2}x - s{h^2}x = 1\)
\(sh2x = 2shxchx\) 类似于 \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)
\(ch2x = c{h^2}x + s{h^2}x\)
三角函数有周期性，双曲函数没有周期性，这是最大的区别。
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反双曲正弦函数： \(arshx\) 注意：不是 \(arc\)
反双曲余弦函数： \(archx\)
反双曲正切函数： \(arthx\)
求双曲函数的反函数的表达式：
令 \(y = arshx \Rightarrow x = shy = \frac{{{e^y} - {e^{ - y}}}}{2}\)
令 \(u = {e^y}\;\; \Rightarrow \;\;2x = u - \frac{1}{u}\;\; \Rightarrow \;\;{u^2} - 2xu - 1 = 0\)
由二次方程的求根公式，得：
\(u = \frac{{2x \pm \sqrt {4{x^2} + 4} }}{2} = x \pm \sqrt {{x^2} + 1} \)
即 \({e^y} = x \pm \sqrt {{x^2} + 1} \)
因为 \({e^y} > 0\)
所以 \({e^y} = x + \sqrt {{x^2} + 1} \)
所以 \(y = \ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} )\)
即 \(arshx = \ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} )\)
用类似方法可推出：
\(arshx = \ln (x + \sqrt {{x^2} + 1} )\)
\(archx = \ln (x + \sqrt {{x^2} - 1} )\)
\(arthx = \frac{1}{2}\ln (\frac{{1 + x}}{{1 - x}})\)
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主要内容：
一、极限概念：数列概念、函数概念
二、极限性质和运算，无穷小概念和比较
三、函数的连续性
一、数列极限定义
数列：设有定义在自然数集 \(N\) 上的函数 \({u_n} = f(n)\) ，称为整标函数（标是指下标 \(n\) ）。
把函数值 \({u_n}\) 按照自然数 \(n\) 的顺序排列出来的无穷数串：
\({u_1},{u_2},{u_3}, \cdots ,{u_n}, \cdots \)
叫作数列（序列），第 \(n\) 项 \({u_n}\) 称为一般项。
数列简记为 \(\{ {u_n}\} \) ，即 \(\{ {u_n}\} \) 表示 \({u_1},{u_2}, \cdots ,{u_n}, \cdots \)
例如：
\(\{ \frac{n}{{n + 1}}\} :\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}, \cdots ,\frac{n}{{n + 1}}, \cdots \)
\(\{ \frac{1}{{{2^n}}}\} :\frac{1}{2},\frac{1}{{{2^2}}},\frac{1}{{{2^3}}}, \cdots ,\frac{1}{{{2^n}}}, \cdots \)
\(\left\{ {\frac{{1 + {{( - 1)}^n}}}{2}} \right\}:0,1,0,1, \cdots ,\frac{{1 + {{( - 1)}^n}}}{2}, \cdots \)
\(\{ \frac{{2n + {{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}\} :3,\frac{3}{2},\frac{7}{3},\frac{7}{4},\frac{{11}}{5},\frac{{11}}{6}, \cdots ,\frac{{2n + {{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}, \cdots \)
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要研究的问题：当 \(n\) 无限增大时（记为 \(n \to \infty \) ），数列 \(\{ {u_n}\} \) 能否与某一常数 \(A\) 无限接近？如果 \(\{ {u_n}\} \) 能与 \(A\) 无限接近，在数学上如何描述？
例如，设 \({u_n} = \frac{{2n + {{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}\) ，当 \(n \to \infty \) 时 \(\{ {u_n}\} \) 的变化趋势如何？（一般地说，两个常数 \(a,b\) ，用 \(|a - b|\) 来描述两数接近的程度）
\({u_n} = \frac{{2n + {{( - 1)}^{n - 1}}}}{n} = 2 + \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}\)
\( \Rightarrow \;{u_n} - 2 = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}\)
\( \Rightarrow \;|{u_n} - 2| = |\frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{n}| = \frac{1}{n}\)
所以当 \(n\) 越大， \(\frac{1}{n}\) 就越小， \({u_n}\) 与2越接近。
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给定一个很小的正数 \(\frac{1}{{100}}\) ，则由 \(|{u_n} - 2| = \frac{1}{n} < \frac{1}{{100}}\; \Rightarrow \;n > 100\) ，只要 \(n > 100\) ，就有 \(|{u_n} - 2| < \frac{1}{{100}}\)
\(|{u_n} - 2| < \frac{1}{{100}} \Leftrightarrow \;2 - \frac{1}{{100}} < {u_n} < 2 + \frac{1}{{100}}\)
开区间 \((2 - \frac{1}{{100}},2 + \frac{1}{{100}}) = N(2,\frac{1}{{100}})\) （此邻域以2为中心 ，以 \(\frac{1}{{100}}\) 为半径）
当 \(n > 100\) 时， \(|{u_n} - 2| < \frac{1}{{100}}\) ，说明 \({u_{101}},{u_{102}}, \cdots \) 都落在 \(N(2,\frac{1}{{100}})\) 邻域内。
同理给定正数 \(\frac{1}{{1000}}\) ，同理可推出：
当 \(n > 1000\) 时， \(|{u_n} - 2| < \frac{1}{{1000}}\) ， \({u_{1001}},{u_{1002}}, \cdots \) 都落在 \(N(2,\frac{1}{{100}})\) 邻域内。
无论给定多么小的正数 \(\varepsilon \) ，总存在正整数 \(N\) ，使得当 \(n > N\) 时的一切 \({u_n}\) 满足 \(|{u_n} - 2| < \varepsilon \)
从几何上看，给定邻域 \(N(2,\varepsilon )\) ，无论（半径）多么，总存在 \(N\) ，使得当 \(n > N\) 时， \({u_{n + 1}},{u_{n + 2}}, \cdots \) 都落在 \(N(2,\varepsilon )\) 内。
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（第5课完）
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