原创

【前言】
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【正文】
四、连续函数在闭区间上的性质

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【正文】
（3）复合函数的连续性：设 $u = \varphi (x)$ 在 ${x_0}$ 处连续， $\varphi ({x_0}) = {u_0}$ ，而 $y = f(u)$ 在 ${u_0}$ 点处连续，则复合函数 $f\left[ {\varphi (x)} \right]$ 在 ${x_0}$ 点处连续。

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【正文】
三、初等函数的连续性
1. 连续函数的和、积、商的连续性
（1）有限个在某点连续的函数的代数和仍然是在该点连续的函数
（2）有限个在某点连续的函数的乘积仍然是在该点连续的函数
（3）两个在某点连续的函数的商仍然是在该点连续的函数，只要分母在该点处函数值不零

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【正文】
函数 $y = f(x)$ 在一点 ${x_0}$ 处连续的定义：

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【正文】

这里讨论的 $\alpha ,\beta$ 都是同一个自变量作同一变化过程中的无穷小，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 之比也是同一个变化过程中的极限。

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『1』一个包含 $x,y$ 的数学表达式（等式）一定代表一个函数关系吗
不一定。例如  $y = \arcsin ({x^2} + 2)$  这个表达式，由于  ${x^2} + 2 \ge 2$ ，而 $\arcsin w$ 要求 $w \le 1$ ，因此没有一个 $y$ 可以与 $x$ 对应，因此按函数的定义，此表达式不构成函数关系。

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数学里经常会用一些符号来代替中文（例如∵表示“因为”），以达到书写简洁的目的，下面是一些常用的符号的总结。

（1） $s.t.$ ：subject to，满足于，使得
例：见下条。

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【正文】
上节课已经证明了：当 $x = n\;(n \in N)$ 时， $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e$ ，下面要证明当 $x$ 为连续自变量时，结论仍成立。

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【正文】
例2. 重要极限之一： $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{{\sin \alpha }}{\alpha } = 1$

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