[原创]高等数学笔记(11)

【前言】
请看此文。
要查看高等数学笔记合集，请看这里。

【正文】

一、极限值与函数值的关系
1. （极限值的唯一性）如果 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ 存在，则其极限值是唯一的

下面证明这个结论。
证：
用反证法来证明。设 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ 存在且不唯一：
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A,\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = B$ ，且 $A < B$
即 $B - A > 0$ ，这个假设后面要用到。
文章来源：http://www.codelast.com/
对给定正数 $\varepsilon = \frac{{B - A}}{4} > 0$ ，由于 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ ，故由极限定义，对正数 $\varepsilon = \frac{{B - A}}{4}$ ，一定存在 ${\delta _1} > 0$ ，使得适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _1}$ 的一切 $x$ ，所对应的函数值 $f(x)$ 恒有 $\left| {f(x) - A} \right| < \frac{{B - A}}{4}$ 。

同理，对给定正数 $\varepsilon = \frac{{B - A}}{4} > 0$ ，由于 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = B$ ，故由极限定义，对正数 $\varepsilon = \frac{{B - A}}{4}$ ，一定存在 ${\delta _2} > 0$ ，使得适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\delta _2}$ 的一切 $x$ ，所对应的函数值 $f(x)$ 恒有 $\left| {f(x) - B} \right| < \frac{{B - A}}{4}$ 。

取 $\delta = \min \{ {\delta _1},{\delta _2}\}$ ，则凡是适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ 的一切 $x$ ，可以使以下两个不等式同时成立：
$\left| {f(x) - A} \right| < \frac{{B - A}}{4},\;\left| {f(x) - B} \right| < \frac{{B - A}}{4}$
文章来源：http://www.codelast.com/
从而有：
$B - A = \left| {B - f(x) + f(x) - A} \right| \le \left| {B - f(x)} \right| + \left| {f(x) - A} \right| < \frac{{B - A}}{4} + \frac{{B - A}}{4} = \frac{{B - A}}{2}$
即 $B - A < \frac{{B - A}}{2}$ ，而在 $B - A > 0$ 的情况下，这是不可能成立的。
所以 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ 是唯一的。

2. 极限值与函数值的同号性
(1)设 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ ，且 $A > 0$ （或 $A < 0$ ），则必存在 $N({{\hat x}_0}),\;s.t.\;\forall x \in N({{\hat x}_0})$ ，都有 $f(x) > 0$ （或 $f(x) < 0$ ）。
证：
设 $A > 0$ ，由 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ 和极限定义，可知：
对正数 $0 < \varepsilon \le A$ ，一定存在 $\delta > 0,\;s.t.$ 适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ （即 $x \in N({{\hat x}_0},\delta )$ ）的一切 $x$ ，恒有 $\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon$ ，即 $A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon$
文章来源：http://www.codelast.com/
因为 $0 < \varepsilon \le A$
所以 $A - \varepsilon \ge 0$
即 $0 \le A - \varepsilon < f(x)$ ，其中 $x \in N({{\hat x}_0},\delta )$
证毕。

(2)设 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ ，且在 $N({{\hat x}_0})$ 内 $f(x) \ge 0$ ，则 $A \ge 0$ 。
证：
用反证法来证明。假如 $A < 0$ ，又 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$
由已证的(1)，可知存在 $N({{\hat x}_0})$ ，使 $f(x) < 0,\;x \in N({{\hat x}_0})$
这与 $f(x) \ge 0$ 的假设矛盾，所以(2)成立。
文章来源：http://www.codelast.com/
例1. 设 $f(x)$ 在 ${x_0}$ 点的某邻域 $N({x_0})$ 内有定义，且 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{{{(x - {x_0})}^2}}} = - 1$ ，则必存在某邻域 $N({x_0},\delta )$ ，使：
(A) $f(x) > f({x_0})$
(B) $f(x) < f({x_0})$ （此项为正确答案）
(C) $f(x) = f({x_0})$
(D)不能判断 $f(x)$ 与 ${f({x_0})}$ 的大小关系
解：
令 $F(x) = \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{{{(x - {x_0})}^2}}}$ ，则 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} F(x) = - 1 < 0$
由前面所证的结论(1)可知：一定存在 $N({x_0},\delta )$ ，使 $F(x) < 0,\;x \in N({x_0},\delta )$
由 $F(x) = \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{{{(x - {x_0})}^2}}} < 0\; \Rightarrow \;f(x) - f({x_0}) < 0\; \Rightarrow \;f(x) < f({x_0})$ （分母为正数）
文章来源：http://www.codelast.com/
3.（有界性）如果当 $x \to {x_0}$ （或 $x \to \infty$ ）时 $f(x) \to A$ （常数），则一定存在 ${x_0}$ 的某个邻域 $N({{\hat x}_0})$ （或存在 $N > 0,\;\left| x \right| > N$ ），使得 $f(x)$ 是有界的。
证：
已知 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ ，由极限定义，对给定正数 $\varepsilon = 1 > 0$ ，必定存在 $\delta > 0$ ，使得适合不等式 $0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \delta$ （即 $x \in N({{\hat x}_0},\delta )$ ）的一切 $x$ 所对应的 $f(x)$ ，恒有：
$\left| {f(x) - A} \right| < 1\; \Leftrightarrow \;A - 1 < f(x) < A + 1$
即 $f(x)$ 在 $N({{\hat x}_0},\delta )$ 内既有上界，又有下界 $\Rightarrow$ $f(x)$ 在 $N({{\hat x}_0},\delta )$ 内有界。
证毕。

二、函数极限与无穷小的关系
设 $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$ （或 $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A$ ），讨论 $f(x), A$ 之间有何关系？
文章来源：http://www.codelast.com/
（第11课完）

文章来源：https://www.codelast.com/
➤➤ 版权声明 ➤➤ 
转载需注明出处：codelast.com 
感谢关注我的微信公众号（微信扫一扫）：