[原创]高等数学笔记(3)

【前言】
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【正文】
函数的上界、下界:若 \exists M (不局限于正数), s.t.\;f(x) \le M,\;\;\forall x \in I ,则称 f(x) 在区间 I 上有界。任何一个数 N > MN 也是 f(x) 的一个上界。
\exists P,\;\;s.t.\;\;f(x) \ge P,\;\;\forall x \in I ,则称 f(x) 在区间 I 上有下界。若 Q < P ,则 Q 也是一个下界。

f(x) 在区间 I 上有界  \Leftrightarrow f(x)I 上既有下界又有上界(“  \Leftrightarrow ”表示充分必要条件)。
证明
f(x)I 上有界,根据定义, \exists M > 0,\;\;s.t.\;\;|f(x)| \le M,\;\;\forall x \in I
|f(x)| \le M \Leftrightarrow - M \le f(x) \le M
因此 f(x) 有下界 - M ,也有上界 M (对 \forall x \in I
反之,设 f(x)I 上既有下界 m ,又有上界 N ,即  m \le f(x) \le N
如果 m = N = 0 ,则 f(x) \equiv 0,\;\;\forall x \in I
因此 f(x)I 上有界。
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如果 m,N 不同时为零,取 M = \max \{ |m|,|N|\} > 0
则   - M \le - |m| \le m \le f(x) \le N \le |N| \le M
即   - M \le f(x) \le M \Rightarrow |f(x)| \le M,\;\forall x \in I
因此 f(x)I 上有界。

2. 函数的单调性
若函数 f(x) 在区间 I 上,对任何 {x_1},{x_2} \in I ,且 {x_1} < {x_2} ,恒有 f({x_1}) < f({x_2}) ,则称 f(x)I 上是严格单调增的。
{x_1} < {x_2} ,恒有 f({x_1}) \le f({x_2}) ,则称 f(x) 在区间 I广义单调增(或直接称为单调增,或称非减的)。
{x_1} < {x_2} ,恒有 f({x_1}) > f({x_2}) ,则称 f(x)I严格单调减
类似地,也有广义单调减单调减非增的)的概念。
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例如, y = {x^2},\;{D_f} = ( - \infty , + \infty )
(0, + \infty ) 上, y = {x^2} 严格单增。
( - \infty ,0) 上, y = {x^2} 严格单减。

又如,取整函数(取一个数的整数部分):

y=[x]=\left\{\begin{matrix}-1, -1\leq x<0\\0, 0\leq x<1\\1, 1\leq x<2\\2, 2\leq x<3\\......\end{matrix}\right.
其函数图形如下:
取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。
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3. 函数的奇偶性
f(x) 在关于原点对称的区间 I 上满足 f( - x) = f(x) ,则称 f(x) 为偶函数。
若满足 f( - x) = - f(x) ,则称 f(x) 为奇函数。
偶函数图形关于 y 轴对称(例如: \cos x,\;{x^2}
奇函数图形关于原点对称(例如: \sin x,\;{x^3}

4. 函数的周期性
f(x) 的定义域为 {D_f} ,如果存在非零的常数 T,\;s.t. 对任意的 x \in {D_f} ,有 (x \pm T) \in {D_f} ,且 f(x + T) = f(x) ,则称 f(x)周期函数T 称为 f(x) 的周期(通常周期是指最小正周期)。
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四、 复合函数,反函数
1. 复合函数
y = \sqrt u ,\;\;u = 1 - {x^2} ,把 u = 1 - {x^2} 代入 y = \sqrt u 中,得到 y = \sqrt {1 - {x^2}} ,称为由 y = \sqrt u u = 1 - {x^2} 复合而成的复合函数。
一般定义:
y = f(u) 是数集 Y 上的函数( Yf(u) 的定义域), u = \varphi (x) 的定义域为 X ,值域为 {Y_\varphi } ,且 {Y_\varphi } \ne \Phi \Phi 表示空集), {Y_\varphi } \subseteq Y (表示 {Y_\varphi }Y 的子集),这时,对 \forall x \in X ,通过 u 都有唯一的 y 值与之对应,从而在 X 上产生一个新函数,用 f \cdot \varphi (中间是一个实心的点)表示,称 f \circ \varphi (中间是一个空心的圈)为 X 上的复合函数:
f\mathop \to \limits^{f \cdot \varphi } y ,或  y = f[\varphi (x)]
y = f[\varphi (x)] 的定义域:由 u = \varphi (x) 的定义域中使函数 u = \varphi (x) 的值域 {Y_\varphi } 满足 {Y_\varphi } \subseteq Y 的那一部分实数组成。
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(第3课完)

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