【正文】
去心邻域：把 \(N(a,\delta )\) 的中心点 \(a\) 去掉，称为点 \(a\) 的去心邻域，记为 \(N(\hat a,\delta ) = \{ x|0 < |x - a| < \delta\} = N(a,\delta )\backslash \{ a\} \)
注：其中， \(\backslash \{ a\} \) 表示去掉由 \(a\) 这一个数组成的数集。
二、函数概念
例1. 设圆的半径为 \(x(x > 0)\) ，它的面积 \(A = \pi {x^2}\) ，当 \(x\) 在 \((0, + \infty )\) 内任取一个数值（记为 \(\forall x \in (0, + \infty )\) ）时，由关系式 \(A = \pi {x^2}\) 就可以确定A的对应数值。
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例2. 设有半径为 \(r\) 的圆，作圆的内接正 \(n\) 边形，每一边对应的圆心角 \(\alpha = \frac{{2\pi }}{n}\) ，周长 \({S_n} = n \cdot 2r\sin \frac{\pi }{n}\) ，当边数 \(n\) 在自然数集 \(N(n \ge 3)\) 任取一个数，通过关系式 \({S_n} = 2nr\sin \frac{\pi }{n}\) 就有一个 \({S_n}\) 对应确定数值。
函数定义：设有数集 \(X,Y\) ， \(f\) 是一个确定的对应法则，对 \(\forall x \in X\) ，通过对应法则 \(f\) 都有唯一的 \(y \in Y\) 与 \(x\) 对应，记为 \(x\mathop \to \limits^f y\) ，或 \(f(x) = y\) ，则称 \(f\) 为定义在 \(X\) 上的函数。
其中 \(X\) 称为 \(f\) 的定义域，常记为 \({D_f}\) 。
\(X\) ——自变量， \(Y\) ——因变量。
当 \(X\) 遍取 \(X\) 中的一切数时，那么与之对应的 \(y\) 值构成一个数集 \({V_f} = \{ y|y = f(x),x \in X\} \) ，称 \({V_f}\) 为函数 \(f\) 的值域。
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注意：
（1）一个函数是由 \(x,y\) 的对应法则 \(f\) 与 \(x\) 的取值范围 \(X\) 所确定的。把“对应法则 \(f\) ”、“定义域”称为函数定义的两个要素。
例如， \(y = \arcsin ({x^2} + 2)\) 这个式子，由于 \({x^2} + 2 > 2\) ，而只有当 \(|{x^2} + 2| \le 1\) 时， \(\arcsin \) 才有意义，因此这个式子不构成函数关系。
又例如， \(y = \ln {x^2}\) 与 \(y = 2\ln x\) 不是同一个函数，因为定义域不同。而 \(y = \ln {x^2}\) 与 \(y = 2\ln |x|\) 是同一个函数，因为定义域相同。
（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。
（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。
若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数 \(y = f(x)\) 成立的一切实数所组成的数值。
函数的几何意义：设函数 \(y = f(x)\) 定义域为 \({D_f}\) ， \(\forall x \in {D_f}\) ，对应函数值 \(y = f(x)\) 在 \(XOY\) 平面上得到点 \((x,y)\) ，当 \(x\) 遍取 \({D_f}\) 中一切实数时，就得到点集 \(P = \{ (x,y)|y = f(x),x \in {D_f}\} \) 。点集 \(P\) 称为函数 \(y = f(x)\) 的图形。
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三、函数的几个简单性质
1. 函数的有界性
若 \(\exists M > 0,\;\;s.t.\;\;|f(x)| \le M,\;x \in I\) ，则称 \(y = f(x)\) 在区间 \(I\) 上有界。否则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上无界。
注： \(s.t.\) 是“使得，满足于”的意思， \(I\) 表示某个区间。
例如， \(y = \sin x\) 在 \(I = ( - \infty , + \infty )\) )上是有界的（因为 \(\;|\sin x| \le 1,\;x \in ( - \infty , + \infty )\) ）。
又如， \(y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\) 在 \(( - \infty , + \infty )\) 上有界。
对任何正数 \(M > 0\) （无论多么大），总 \(\exists {x_1} \in I,\;\;s.t.\;\;|f({x_1})| > M\) ，则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上无界。
例如， \(y = \frac{1}{x}\) 在 \((0,1)\) 内无界。
证明：
对给定的 \(M > 0\) （不妨设 \(M > 1\) ），无论M多么大，必存在 \({x_1} = \frac{1}{{2M}} \in (0,1)\) ，使 \(f({x_1}) = \frac{1}{{\frac{1}{{2M}}}} = 2M > M\)
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（第2课完）
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