[原创]高等数学笔记(3) – 编码无悔 / Intent & Focused

【前言】
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：若 $\exists M$ （不局限于正数）， $s.t.\;f(x) \le M,\;\;\forall x \in I$ ，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有界。任何一个数 $N > M$ ， $N$ 也是 $f(x)$ 的一个上界。
若 $\exists P,\;\;s.t.\;\;f(x) \ge P,\;\;\forall x \in I$ ，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有下界。若 $Q < P$ ，则 $Q$ 也是一个下界。

（“ $\Leftrightarrow$ ”表示充分必要条件）。
：
设 $f(x)$ 在 $I$ 上有界，根据定义， $\exists M > 0,\;\;s.t.\;\;|f(x)| \le M,\;\;\forall x \in I$ 。
$|f(x)| \le M \Leftrightarrow - M \le f(x) \le M$
因此 $f(x)$ 有下界 $- M$ ，也有上界 $M$ （对 $\forall x \in I$ ）
反之，设 $f(x)$ 在 $I$ 上既有下界 $m$ ，又有上界 $N$ ，即 $m \le f(x) \le N$
如果 $m = N = 0$ ，则 $f(x) \equiv 0,\;\;\forall x \in I$
因此 $f(x)$ 在 $I$ 上有界。
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如果 $m,N$ 不同时为零，取 $M = \max \{ |m|,|N|\} > 0$ ，
则 $- M \le - |m| \le m \le f(x) \le N \le |N| \le M$
即 $- M \le f(x) \le M \Rightarrow |f(x)| \le M,\;\forall x \in I$
因此 $f(x)$ 在 $I$ 上有界。

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上，对任何 ${x_1},{x_2} \in I$ ，且 ${x_1} < {x_2}$ ，恒有 $f({x_1}) < f({x_2})$ ，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是的。
若 ${x_1} < {x_2}$ ，恒有 $f({x_1}) \le f({x_2})$ ，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上广义单调增（或直接称为，或称的）。
若 ${x_1} < {x_2}$ ，恒有 $f({x_1}) > f({x_2})$ ，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调减。
类似地，也有广义单调减（单调减，非增的）的概念。
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例如， $y = {x^2},\;{D_f} = ( - \infty , + \infty )$
在 $(0, + \infty )$ 上， $y = {x^2}$ 严格单增。
在 $( - \infty ,0)$ 上， $y = {x^2}$ 严格单减。

又如，取整函数（取一个数的整数部分）：

$y=[x]=\left\{\begin{matrix}-1, -1\leq x<0\\0, 0\leq x<1\\1, 1\leq x<2\\2, 2\leq x<3\\......\end{matrix}\right.$

其函数图形如下：

取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。
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3. 函数的奇偶性
若

$f(x)$ 在关于原点对称的区间

$I$ 上满足

$f( - x) = f(x)$ ，则称

$f(x)$ 为偶函数。
若满足

$f( - x) = - f(x)$ ，则称

$f(x)$ 为奇函数。
偶函数图形关于

$y$ 轴对称（例如：

$\cos x,\;{x^2}$ ）
奇函数图形关于原点对称（例如：

$\sin x,\;{x^3}$ ）

设 $f(x)$ 的定义域为 ${D_f}$ ，如果存在非零的常数 $T,\;s.t.$ 对任意的 $x \in {D_f}$ ，有 $(x \pm T) \in {D_f}$ ，且 $f(x + T) = f(x)$ ，则称 $f(x)$ 为， $T$ 称为 $f(x)$ 的周期（通常周期是指最小正周期）。
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四、复合函数，反函数

设 $y = \sqrt u ,\;\;u = 1 - {x^2}$ ，把 $u = 1 - {x^2}$ 代入 $y = \sqrt u$ 中，得到 $y = \sqrt {1 - {x^2}}$ ，称为由 $y = \sqrt u$ 与 $u = 1 - {x^2}$ 复合而成的复合函数。
一般定义：
设 $y = f(u)$ 是数集 $Y$ 上的函数（ $Y$ 是 $f(u)$ 的定义域）， $u = \varphi (x)$ 的定义域为 $X$ ，值域为 ${Y_\varphi }$ ，且 ${Y_\varphi } \ne \Phi$ （ $\Phi$ 表示空集）， ${Y_\varphi } \subseteq Y$ （表示 ${Y_\varphi }$ 是 $Y$ 的子集），这时，对 $\forall x \in X$ ，通过 $u$ 都有唯一的 $y$ 值与之对应，从而在 $X$ 上产生一个新函数，用 $f \cdot \varphi$ （中间是一个实心的点）表示，称 $f \circ \varphi$ （中间是一个空心的圈）为 $X$ 上的复合函数：
$f\mathop \to \limits^{f \cdot \varphi } y$ ，或 $y = f[\varphi (x)]$
$y = f[\varphi (x)]$ 的定义域：由 $u = \varphi (x)$ 的定义域中使函数 $u = \varphi (x)$ 的值域 ${Y_\varphi }$ 满足 ${Y_\varphi } \subseteq Y$ 的那一部分实数组成。
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（第3课完）