[原创]高等数学笔记(4)

【前言】
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【正文】
1. 复合函数
$y = f(u),\;u = \varphi (x)\; \Rightarrow \;y = f[\varphi (x)]$
注意： $f[\varphi (x)]$ 与 $\varphi (x)$ 定义域不一定相同。

例1. 设 $f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}},\;\varphi (x) = \frac{1}{{1 + x}}$ ，求 $f[\varphi (x)]$ 并确定定义域。
解： $f[\varphi (x)] = \frac{{{{\left[ {\varphi (x)} \right]}^2} + 1}}{{{{\left[ {\varphi (x)} \right]}^2} - 1}} = \frac{{{{\left[ {\frac{1}{{1 + x}}} \right]}^2} + 1}}{{{{\left[ {\frac{1}{{1 + x}}} \right]}^2} - 1}} = - \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x(x + 2)}}$
当 $x \ne - 1$ （由 $\frac{1}{{1 + x}}$ 可知）且 $x \ne 0,\;x \ne - 2$ 时 $f[\varphi (x)]$ 有定义。即 $f[\varphi (x)]$ 定义域为：
$( - \infty , - 2) \cup ( - 2, - 1) \cup ( - 1,0) \cup (0, + \infty )$

2. 反函数
设有函数 $y = f(x)$ ，定义域 ${D_f}$ ，值域 ${V_f}$ 。 $\forall y \in {V_f}$ ，至少可以确定一个 $x \in {D_f},\;\;s.t.\;f(x) = y$ ，如果把 $y$ 看作自变量，把 $x$ 看作因变量，由函数概念，可以看到一个新函数，记为 $x = {f^{ - 1}}(y)$ ，称为 $y = f(x)$ 的反函数。
反函数的定义域为 ${V_f}$ ，值域为 ${D_f}$ ，把 $y = f(x)$ 称为直接函数， $x = {f^{ - 1}}(y)$ 称为反函数。
注意：
1. 虽然直接函数 $y = f(x)$ 是单值的，但反函数 $x = {f^{ - 1}}(y)$ 不一定是单值的。
例如，函数 $y = {x^2},\;\;{D_f}:( - \infty , + \infty ),\;\;{V_f}:[0, + \infty ]$
反函数 $x = {f^{ - 1}}(y)$ 不是单值的（因为对 $\forall y \in [0, + \infty ]$ ，得到 $x = \pm \sqrt y$ ，有两个值 $- \sqrt y , + \sqrt y$ ，为双值函数）。
$x = \sqrt y$ 是一个单值支。

2. 如果直接函数 $y = f(x)$ 严格单调，则其反函数 $x = {f^{ - 1}}(y)$ 也是单值单调的。

3. 直接函数 $y = f(x)$ 与反函数 $x = {f^{ - 1}}(y)$ 图形相同，习惯上以 $x$ 表示自变量， $y$ 表示因变量，反函数记为 $y = {f^{ - 1}}(x)$ 。这时， $y = f(x)$ 与 $y = {f^{ - 1}}(x)$ 的图形关于直线 $y = x$ 对称，如下图所示：

例1. 设 $y = f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2},\;\; - 2 < x < 1}\\{{x^2},\;\;1 \le x \le 2}\end{array}} \right.$ ，求反函数 $y = {f^{ - 1}}(x)$
解：当 ${ - 2 < x < 1}$ 时， $y = \frac{x}{2},\; - 1 < y < \frac{1}{2}\;\; \Rightarrow \;x = 2y$ ，定义域 $- 1 < y < \frac{1}{2}$
当 ${1 \le x \le 2}$ 时， $y = {x^2},\; - 1 \le y \le 4\;\; \Rightarrow \;x = + \sqrt y$ （因为 $x$ 是正数），定义域 $- 1 \le y \le 4$
综上所述，反函数为：