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为了对蒙特卡罗方法有一个直观的印象，我们先举一个实例（计算圆周率 \(\pi \) ），让从来没有接触过蒙特卡罗方法的人产生“原来这就是Monte Carlo”的感觉，以减少刚开始学习的困惑。
- 非蒙特卡罗方法
圆周率 \(\pi \) 可以怎么计算？其中一个“常规”的方法就是利用 \(\pi \) 的莱布尼茨公式：
\(\frac{\pi }{4} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{2n + 1}}} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots \)
不断增大 \(n\) 的值，就能越来越逼近 \(\frac{\pi }{4}\)
当 \(n\) 的最大值取30000时，可以计算得 \(\pi = 3.141559320256462\)
- 蒙特卡罗方法
相比之下，用蒙特卡罗方法来计算 \(\pi \) ，可能就是一个比较“另类”的途径了。
假设圆外部有一个相切的正方形，如下图所示：
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设圆面积为C，正方形面积为S，则利用面积公式可以轻易算得： \(\frac{C}{S} = \frac{{\pi {r^2}}}{{{{(2r)}^2}}} = \frac{\pi }{4}\)
然后，我们在正方形内随机生成30000个点（当然可以生成更多，这里只是用30000举个例子），分别计算这些点与圆心的距离，距离<r 表示点在圆内部：
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从面积之比可知：如果点是均匀分布的，则圆内的点的数量应该占所有点数量的 \(\frac{\pi }{4}\) ，计算数量之比，再乘以4，即可得圆周率。
在某一次实验中，模拟30000个点， \(\pi \) 的估算值与真实值相差0.07%
所以，这里正是巧妙地利用了“随机”这个技术，来计算了圆周率，这种方法就属于蒙特卡罗方法。
- 参考文献
► 维基百科： \(\pi \) 的莱布尼茨公式
► 蒙特卡罗方法入门
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