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当今世界,深度学习应用已经渗透到了我们生活的方方面面,深度学习技术背后的核心问题是最优化(Optimization)。最优化是应用数学的一个分支,它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量),以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。
梯度下降法(Gradient descent,又称最速下降法/Steepest descent),是无约束最优化领域中历史最悠久、最简单的算法,单独就这种算法来看,属于早就“过时”了的一种算法。但是,它的理念是其他某些算法的组成部分,或者说在其他某些算法中,也有梯度下降法的“影子”。例如,各种深度学习库都会使用SGD(Stochastic Gradient Descent,随机梯度下降)或变种作为其优化算法。
今天我们就再来回顾一下梯度下降法的基础知识。

『1』名字释义
在很多机器学习算法中,我们通常会通过多轮的迭代计算,最小化一个损失函数(loss function)的值,这个损失函数,对应到最优化里就是所谓的“目标函数”。
在寻找最优解的过程中,梯度下降法只使用目标函数的一阶导数信息——从“梯度”这个名字也可见一斑。并且它的本意是取目标函数值“最快下降”的方向作为搜索方向,这也是“最速下降”这个名字的来源。
于是自然而然地,我们就想知道一个问题的答案:沿什么方向,目标函数 f(x) 的值下降最快呢?

『2』函数值下降最快的方向是什么
先说结论:沿负梯度方向  d = - {g_k} ,函数值下降最快。此处,我们用  d  表示方向(direction),用  g  表示梯度(gradient)。
下面就来推导一下。
将目标函数 f(x) 在点 {x_k} 处泰勒展开(在最优化领域,这是一个常用的手段):
f(x) = f({x_k}) + \alpha g_k^T{d_k} + o(\alpha )
高阶无穷小 o(\alpha ) 可忽略,由于我们定义了步长 \alpha > 0 (在ML领域,步长就是平常所说的learning rate),因此,当 g_k^T{d_k} < 0 时, f(x) < f({x_k}) ,即函数值是下降的。此时 {d_k} 就是一个下降方向。
但是 {d_k} 具体等于什么的时候,可使目标函数值下降最快呢?
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数学上,有一个非常著名的不等式:Cauchy-Schwartz不等式(柯西-许瓦兹不等式)1,它是一个在很多场合都用得上的不等式:

({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + \cdots + {a_n}{b_n}) \le \sqrt {(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)} \sqrt {(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)}
当且仅当:
\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \cdots = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}
时等号成立。
 

由Cauchy-Schwartz不等式可知:
\left| {d_k^T{g_k}} \right| \le \left\| {{d_k}} \right\|\left\| {{g_k}} \right\|
当且仅当 {d_k} = {g_k} 时,等号成立, d_k^T{g_k} 最大(>0)。
所以 {d_k} = - {g_k} 时, d_k^T{g_k} 最小(<0), f(x) 下降量最大。
所以  - {g_k}下降方向。

『3』缺点
它真的如它的名字所描述的,是“最快速”的吗?从很多经典的最优化书籍你会了解到:并不是。
事实上,它只在局部范围内具有“最速”性质;对整体求最优解的过程而言,它让目标函数值下降非常缓慢。

『4』感受一下它是如何“慢”的
先来看一幅图2

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这幅图表示的是对一个目标函数寻找最优解的过程,图中锯齿状的路线就是寻优路线在二维平面上的投影。从这幅图我们可以看到,锯齿一开始比较大(跨越的距离比较大),后来越来越小;这就像一个人走路迈的步子,一开始大,后来步子越迈越小。
这个函数的表达式是这样的:
f({x_1},{x_2}) = {(1 - {x_1})^2} + 100 \cdot {({x_2} - {x_1}^2)^2}
它叫做Rosenbrock function3(罗森布罗克函数),是个非凸函数,在最优化领域,它可以用作一个最优化算法的performance test函数。这个函数还有一个更好记也更滑稽的名字:banana function(香蕉函数)。
我们来看一看它在三维空间中的图形:

Rosenbrock function 3D
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它的全局最优点位于一个长长的、狭窄的、抛物线形状的、扁平的“山谷”中。
找到“山谷”并不难,难的是收敛到全局最优解(在 (1,1) 处)。
正所谓:世界上最遥远的距离,不是你离我千山万水,而是你就在我眼前,我却要跨越千万步,才能找到你
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我们再来看另一个目标函数 f(x,y) = \sin \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{4}{y^2} + 3} \right)\cos \left( {2x + 1 - {e^y}} \right) 的寻优过程4
和前面的Rosenbrock function一样,它的寻优过程也是“锯齿状”的。
它在三维空间中的图形是这样的:
总而言之就是:当目标函数的等值线接近于圆(球)时,下降较快;等值线类似于扁长的椭球时,一开始快,后来很慢。
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『5』为什么“慢”
从上面花花绿绿的图,我们看到了寻找最优解的过程有多么“艰辛”,但不能光看热闹,还要分析一下原因。
在最优化算法中,精确的line search满足一个一阶必要条件,即:梯度与方向的点积为零(当前点在 {d_k} 方向上移动到的那一点( {x_k} + {\alpha _k}{d_k} )处的梯度,与当前点的搜索方向 {d_k} 的点积为零)。
由此得知:
\nabla f{({x_k} + {\alpha _k}{d_k})^T}{d_k} = 0 ,即 g_{k + 1}^T{d_k} = 0
故由梯度下降法的 {d_k} = - {g_k} 得:
g_{k + 1}^T{d_k} = g_{k + 1}^T( - {g_k}) = - g_{k + 1}^T{g_k} = - d_{k + 1}^T{d_k} = 0 \Rightarrow d_{k + 1}^T{d_k} = 0
即:相邻两次的搜索方向是相互直交的(投影到二维平面上,就是锯齿形状了)。
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如果你非要问,为什么 d_{k + 1}^T{d_k} = 0 就表明这两个向量是相互直交的?那是因为,由两向量夹角的公式:
\cos \theta = \frac{{{d_k}^T{d_k}}}{{\left\| {{d_k}} \right\|\left\| {{d_k}} \right\|}} = \frac{0}{{\left\| {{d_k}} \right\|\left\| {{d_k}} \right\|}} = 0\;
=> \theta = \frac{\pi }{2}
可知两向量夹角为90度,因此它们直交。

『6』优点
这个被我们说得一无是处的方法真的就那么糟糕吗?其实它还是有优点的:程序简单,计算量小;并且对初始点没有特别的要求;此外,许多算法的初始/再开始方向都是最速下降方向(即负梯度方向)。
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『7』收敛性及收敛速度
梯度下降法具有整体收敛性——对初始点没有特殊要求。
采用精确的line search的梯度下降法的收敛速度:线性。
 

  • 引用
(1)https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality
(2)https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent
(3)https://en.wikipedia.org/wiki/Rosenbrock_function
(4)https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent
[原创] 再谈 梯度下降法/最速下降法/Gradient descent/Steepest Descent

3 thoughts on “[原创] 再谈 梯度下降法/最速下降法/Gradient descent/Steepest Descent

  • 2016 年 10 月 12 日 at 03:08
    Permalink

    选修了optimization的课程,由于本来这方面的知识就比较晦涩加之英文难以理解。基本将博主的几片最优化的文章看了一遍,语言通俗,让我理解了许多上课看书无法理解的东西

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  • 2014 年 12 月 25 日 at 20:18
    Permalink

    博主写的很好,很清晰。

    Reply
    • 2016 年 09 月 18 日 at 16:04
      Permalink

      谢谢楼主,写得很详细,帮助了我这种初学者。

      Reply

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