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【前言】
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【正文】
<定义2> 设函数 f(x){x_0} 点的左侧 [{x_0} + \Delta x,{x_0}]\Delta x < 0 )有定义,如果极限 \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} 存在,则称此极限为 f(x){x_0} 点的左导数,记为 {{f'}_ - }({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}

类似有右导数
{{f'}_ + }({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}
显然有:
{f({x_0})}{{x_0}} 点可导  \Leftrightarrow {{f'}_ - }({x_0}),{{f'}_ + }({x_0}) 存在且 {{f'}_ - }({x_0}) = {{f'}_ + }({x_0})
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如果 f(x)(a,b) 内可导,且 {{f'}_ + }(a){{f'}_ - }(b) 存在,则称 f(x)[a,b] 上可导,记为 f(x) \in D\left[ {a,b} \right]

三、导数的几何意义
由实例2(曲线上一点处切线的斜率问题)及导数定义:
f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}
可知 \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} 表示割线 {P_0}P 的斜率
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'({x_0})

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f'(x) 在几何上表示曲线上一点 {P_0}({x_0},f({x_0})) 点处切线 {P_0}T 的斜率 f'({x_0}) = \tan \alpha \alpha 是切线 {P_0}T 的倾角。
根据导数几何意义及平面解析几何关于直线方程的知识(点斜式方程):
切线方程为: y - f({x_0}) = f'({x_0})(x - {x_0})
曲线上点 {P_0}({x_0},f({x_0})) 的法线(过 {P_0} 点且与该点处的切线垂直的直线,称为曲线在 {P_0} 点的法线)方程是什么?
已知:切线斜率 {k_q} = f'({x_0})
而切线与法线垂直,故法线斜率 {k_f} = - \frac{1}{{f'({x_0})}} (与切线斜率互为负倒数,其中 f'({x_0}) \ne 0
所以法线方程为: y - f({x_0}) = - \frac{1}{{f'({x_0})}}(x - {x_0})
y = f(x){x_0} 点处 f'({x_0}) = \infty (表示切线垂直于 x 轴),则切线方程为 x = {x_0}
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例1. 求曲线 y = \frac{1}{{{x^2}}}{P_0}(1,1) 处的切线方程和法线方程。
解:先求导数: y' = - \frac{2}{{{x^3}}} ,则 {\left. {y'} \right|_{x = 1}} = - 2
切线斜率 {k_q} = - 2 ,法线斜率 {k_f} = \frac{1}{2}
因此切线方程为: y - 1 = - 2(x - 1) \Rightarrow 2x + y - 3 = 0
法线方程为: y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow x - 2y + 1 = 0
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思考:曲线 y = f({x_0}) 外有一点 {M_0}({x_0},{y_0}) ,过 {M_0} 点作曲线的切线,怎样求该切线的方程?

四、函数的可导性与连续性的关系
<定理> 如果函数 y = f(x){x_0} 点可导,则 f({x_0}){x_0} 点必定连续。
证:设 f(x) 的自变量 x{x_0} 点有增量 \Delta x ,函数对应的增量 \Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})
要证 f(x){x_0} 点处连续,也就是要证 \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0 (注:为什么?见第18课的连续性定义)
由于 y = f(x){x_0} 点可导,从而有: \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} 存在,且 \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'({x_0})
根据有极限的函数与无穷小的关系( \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A + \alpha ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha = 0 )可知:
\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'({x_0}) + \alpha
即: \Delta y = f'({x_0})\Delta x + \alpha \Delta x
两边取极限:
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = f'({x_0})\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (\alpha \Delta x)
(注: \alpha \Delta x 为两个无穷小的乘积,仍为无穷小)
因此函数 y = f(x){x_0} 点处连续(连续是可导的必要条件
定理的逆命题不成立,即函数在一点连续,也不一定是可导的。
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(第23课完)

[原创]高等数学笔记(23)

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