[原创]一维搜索中的划界(Bracket)算法

很多最优化算法需要用到一维搜索（line search）子算法，而在众多的一维搜索算法中，大多数都要求函数被限制在一个单峰区间内，也就是说，在进行一维搜索的区间内，函数是一个单峰函数。尽管有一些改进的一维搜索算法（例如 $H\ddot opfinger$ 建议的一种改进过的黄金搜索算法）可以处理函数非单峰的情况，但是，在没有确定函数在一个区间内是单峰的之前，即使在搜索过程中，函数值持续减小，我们也不能说极小值是一定存在的，因此，找出一个区间，在此区间之内使函数是单峰的，这个过程是必需的（我更倾向于接受这种观点）。这个过程就叫作划界（Bracket）。Bracket这个单词是括号的意思，很形象——用括号包住一个范围，就是划界。在某些书中，划界算法也被称为进退法。

【1】什么是单峰区间？什么是单峰函数？
从字面上理解，“单峰”即函数只有一个峰，如下图所示（在区间[-8,8]内是单峰的）：

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而下面的这个函数，在区间[2,14]内就不是单峰函数了：

现在，我们再用数学的话来定义一下单峰区间和单峰函数：
$[a,b]$ 为 $R$ 的子集，存在 ${\alpha ^*} \in [a,b]$ ，使得 $f(\alpha )$ 在 $[a,{\alpha ^*}]$ 上严格单调减，在 $[{\alpha ^*},b]$ 上严格单调增，则称 $[a,b]$ 是 $f(\alpha )$ 的单峰区间， $f(\alpha )$ 是 $[a,b]$ 上的单峰函数。
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【2】“划界”是如何实现的
方法是：寻找使函数值达到“高→低→高”的3个点。

如上图所示，当我们找到 $a,b,c$ 这样3个点的时候，它们就能确定一个单峰区间了。
一定有人会有疑问说：这不一定，万一 $b,c$ 之间还有一个峰怎么办？确实，这里举的例子并不是一个完善的例子，在一个实用的划界程序中，它所做的考虑会非常多，各种意外情况都要处理，此处只是为了说明“划界”是怎么一回事，以及一个最简单的划界程序是怎么做的。
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与各种教科书上仅有令人讨厌的公式说明不同（从不考虑读者的感受），我把几个简单的划界步骤画成了几幅图，我觉得有小学文凭已经足够理解了（一图胜千言）：
①：

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起始点为 ${x_0}$ ，假设一开始向右寻找，步长为 $h$ ，图中的 $k$ 表示迭代的次数。
则第一点挪动到了 ${x_1} = {x_0} + h$ ，计算函数值，发现 $f({x_1}) < f({x_0})$ ，很好，“高→低→高”的3点中，我们已经有了两点。
然后下一点我们挪动到 ${x_2} = {x_1} + t \times h,\;t > 1$ ，这里用加倍系数 $t$ 来乘以步长是为了加速搜索的过程。再计算函数值，发现 $f({x_2}) > f({x_1})$ ，很好，我们已经找到了“高→低→高”的3点。任务完成， $[a,b]$ 即为所求区间。
总结一下步骤就是：
${x_1} = {x_0} + h$
${x_2} = {x_1} + t \times h$
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②：
如果运气没那么好，例如：

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即：
和①一样，搜索也经历了 ${x_0},{x_1},{x_2}$ 这几个点，与①不同的是，到了 ${x_2}$ 点之后，我们发现其函数值仍然小于 ${x_1}$ 点处的函数值，也就是说，我们还没有找到“高→低→高”的3点。
于是我们继续放大步长，令 ${x_3} = {x_2} + t \times t \times h$ ，再计算函数值，发现 $f({x_3}) > f({x_2})$ ，很好，我们已经找到了“高→低→高”的3点。任务完成， $[a,b]$ 即为所求区间。
总结一下步骤就是：
${x_1} = {x_0} + h$
${x_2} = {x_1} + t \times h$ （加大步长）
${x_3} = {x_2} + t \times t \times h$ （继续加大步长）
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③：
①是向右搜索，如果我们运气更差一些，一开始就是个错误（应该向左搜索），怎么办？

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如上图，起始点为 ${x_0}$ ，第一个挪动到的点起始点为 ${x_1}$ ，而 ${x_1}$ 处的函数值竟然比起始点 ${x_0}$ 处的函数值要大（函数值不降反升）。于是我们可以向左搜索（将步长 $h$ 设为负值），并且把 ${x_1}$ 挪到 ${x_0}$ ，继续按①的节奏进行下去。
总结一下步骤就是：
${x_1} = {x_0} + h$ （发现函数值不降反升）
$h' = - h$ （步长设为负值，向左搜索）
${x_1} = {x_0}$ （重置 ${x_1}$ 点）
${x_2} = {x_1} + h'$
${x_3} = {x_2} + t \times h'$ （加大步长，函数值回升，停止搜索）
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【3】加快划界的速度：逆抛物内插
有没有什么办法可以加快划界的速度呢？有，逆抛物内插（Inverse Parabolic Interpolation）就是一种技术，它可以使得划界算法超线性收敛。
为了解释什么是逆抛物内插，这里用书上的一幅图来讲解：

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如图，实线为目标函数曲线。在该曲线上，如果我们要尽快逼近极小值点，可以这样做：通过①②③三点作一条抛物线（图中粗虚线所示），可以计算出该抛物线的极小值点的横坐标，从而可以找到同一横坐标下，目标函数上的点，即点④；然后再过①②④三点作一条抛物线（图中细虚线所示），可以计算出该抛物线的极小值点的横坐标，从而又可以找到同一横坐标下，目标函数上的点，即点⑤。这样，我们就很快地逼近了极小值。

那么，过三点的抛物线，其极小值点的横坐标怎么求？
已知函数 $f(x)$ ，过 $f(a),f(b),f(c)$ 三点的抛物线，其极小值点的横坐标 $x$ 为：

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注：为什么叫“逆”？因为上面的方法是用来求横坐标 $x$ ，而不是求 $y$ 的。

有人会问：划界的目标就是找到3个点，而你怎么会预先知道3个点的坐标，从而进行逆抛物内插？这不是因果倒置了吗？
其实，这里的三个点，并不是划界的结果，而是初始的猜测，通过初始的猜测点进行逆抛物内插，再根据内插点的不同情况，分别作不同的处理，最终可以找到划界的3个点。
例如，我们总要知道两个初始点 $a,b$ 吧？好吧，如果你已知的真的只有一个点 $a$ ，那么 $b$ 就随便取比 $a$ 大一点的值好了，这也能凑够两个点啊。通过这两个点，可以通过 $c = b + COE \times (b - a)$ 来得到猜测的第一个 $c$ 点（这里的 $COE$ 表示一个系数，例如1.618），从而可以通过这3点开始逆抛物内插。
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一个实用的划界程序还是挺复杂的——这里的复杂是比较于上面陈述的最简单的划界算法来说的，因为要保证程序在很多“意外情况”下都能正确运行，必须做很多工作。这里就不分析具体的程序了，大家可以到网上找来看一下。
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