【正文】
例：证明数列 \(\{ {u_n}\} = \{ {( - 1)^n}\frac{n}{{n + 1}}\} \) 是发散的。
证：
\(\{ {u_n}\} : - \frac{1}{2},\frac{2}{3}, - \frac{3}{4},\frac{4}{5}, \cdots \)
当 \(n\) 取奇数 \(2m - 1\;(m < N)\) 时，得到数列（注：对应到原来的 \({u_1},{u_3},{u_5}, \cdots \) ）：
\( - \frac{1}{2}, - \frac{3}{4}, - \frac{5}{6}, \cdots , - \frac{{2m - 1}}{{2m}}, \cdots \)
数列 \(\{ {u_{2m - 1}}\} \) 从 \( - \frac{1}{2}\) 开始单调减。
当 \(n\) 取偶数 \(2m\;(m \in N)\) 时，得到数列（注：对应到原来的的 \({u_2},{u_4},{u_6}, \cdots \) ）：
\(\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{7}, \cdots ,\frac{{2m}}{{2m + 1}}, \cdots \)
数列 \(\{ {u_{2m}}\} \) 从 \(\frac{2}{3}\) 开始单调增。
如下图所示：
下面，用反证法来证明。在这之前，要做一个准备工作（进行一个“无厘头”的推导），因为后后面的反证法会用到这个结论：
\({u_2} - {u_1} = \frac{2}{3} - ( - \frac{1}{2}) = \frac{7}{6} > 1\)
这说明，距离最短的两个点 \({u_1},{u_2}\) 之间的距离大于1。这个无厘头的结论在后面会用到。
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假设 \({u_n} \to A\;(n \to \infty )\) （ \(A\) 是唯一的）
由极限定义，给定正数 \(\varepsilon = \frac{1}{2} > 0\) ，必存在一个正整数 \(N\) ，使得当 \(n > N\) 时，恒有不等式 \(|{u_n} - A| < \frac{1}{2}\)
因此 \(A - \frac{1}{2} < {u_n} < A + \frac{1}{2}\) ，即 \({u_n} \in (A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2}),\;\;(n > N)\)
因此 \({u_{N + 1}},{u_{N + 2}},{u_{N + 3}}, \cdots \in (A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2})\)
区间 \((A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2})\) 长度为1
而 \({u_{N + 1}},{u_{N + 2}}\) 落在长度为1的区间 \((A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2})\) 内是不可能的（由前面推导的“无厘头”结论可知，距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内）
因此 \(\{ {( - 1)^n}\frac{n}{{n + 1}}\} \) 是发散的。
证毕。
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有界数列：对于数列 \(\{ {u_n}\} \) ，如果存在一个正数 \(M > 0\) ，使得一切 \({u_n}\) 都有 \(|{u_n}| \le M\) ，则称 \(\{ {u_n}\} \) 有界。
2. 定理2 如果 \(\{ {u_n}\} \) 收敛，则 \(\{ {u_n}\} \) 一定是有界的。
证：
由于 \(\{ {u_n}\} \) 收敛，可设 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = A\)
由极限定义，对给定正数 \(\varepsilon = 1\) ，必存在正整数 \(N\) ，使得 \(n > N\) 时，恒有 \(|{u_n} - A| < 1 \Leftrightarrow A - 1 < {u_n} < A + 1\)
因此 \(|{u_n}| = |{u_n} - A + A| \le |{u_n} - A| + |A| \le 1 + |A|\) （和的绝对值 \( \le \) 绝对值的和）
现取 \(M = \max \{ |{u_1}|, \cdots ,|{u_n}|,1 + |A|\} \;\;(n > N)\) （有限个数，最大值一定存在）
于是 \(|{u_n}| \le M\;(n = 1,2, \cdots )\)
所以 \(\{ {u_n}\} \) 是有界的。
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讨论 \(x\) 为连续自变量时，函数 \(y = f(x)\) 的极限。
1. 自变量 \(x\) 任意地接近于定值 \({x_0}\) ，或 \(x\) 趋向于 \({x_0}\) （记为 \(x \to {x_0}\) ），对应的函数值 \(f(x)\) 的变化趋势。
2. 自变量 \(x\) 的绝对值 \(|x|\) 无限增大（记为 \(x \to \infty \) ），对应的函数值 \(f(x)\) 的变化趋势。
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（第7课完）
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