[原创]高等数学笔记(7)

【前言】
请看此文
要查看高等数学笔记合集,请看这里

【正文】
例:证明数列 \{ {u_n}\} = \{ {( - 1)^n}\frac{n}{{n + 1}}\} 是发散的。

证:
\{ {u_n}\} : - \frac{1}{2},\frac{2}{3}, - \frac{3}{4},\frac{4}{5}, \cdots
n 取奇数 2m - 1\;(m < N) 时,得到数列(注:对应到原来的 {u_1},{u_3},{u_5}, \cdots ):
 - \frac{1}{2}, - \frac{3}{4}, - \frac{5}{6}, \cdots , - \frac{{2m - 1}}{{2m}}, \cdots
数列 \{ {u_{2m - 1}}\}  - \frac{1}{2} 开始单调减。
n 取偶数 2m\;(m \in N) 时,得到数列(注:对应到原来的的 {u_2},{u_4},{u_6}, \cdots ):
\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{7}, \cdots ,\frac{{2m}}{{2m + 1}}, \cdots
数列 \{ {u_{2m}}\} \frac{2}{3} 开始单调增。
如下图所示:

下面,用反证法来证明。在这之前,要做一个准备工作(进行一个“无厘头”的推导),因为后后面的反证法会用到这个结论:
{u_2} - {u_1} = \frac{2}{3} - ( - \frac{1}{2}) = \frac{7}{6} > 1
这说明,距离最短的两个点 {u_1},{u_2} 之间的距离大于1。这个无厘头的结论在后面会用到。
文章来源:http://www.codelast.com/
假设 {u_n} \to A\;(n \to \infty )A 是唯一的)
由极限定义,给定正数 \varepsilon = \frac{1}{2} > 0 ,必存在一个正整数 N ,使得当 n > N 时,恒有不等式 |{u_n} - A| < \frac{1}{2}
因此 A - \frac{1}{2} < {u_n} < A + \frac{1}{2} ,即 {u_n} \in (A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2}),\;\;(n > N)
因此 {u_{N + 1}},{u_{N + 2}},{u_{N + 3}}, \cdots \in (A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2})
区间 (A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2}) 长度为1
{u_{N + 1}},{u_{N + 2}} 落在长度为1的区间 (A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2}) 内是不可能的(由前面推导的“无厘头”结论可知,距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内)
因此 \{ {( - 1)^n}\frac{n}{{n + 1}}\} 是发散的。
证毕。
文章来源:http://www.codelast.com/
有界数列:对于数列 \{ {u_n}\} ,如果存在一个正数 M > 0 ,使得一切 {u_n} 都有 |{u_n}| \le M ,则称 \{ {u_n}\} 有界。

2. 定理2 如果 \{ {u_n}\} 收敛,则 \{ {u_n}\} 一定是有界的
证:
由于 \{ {u_n}\} 收敛,可设 \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = A
由极限定义,对给定正数 \varepsilon = 1 ,必存在正整数 N ,使得 n > N 时,恒有 |{u_n} - A| < 1 \Leftrightarrow A - 1 < {u_n} < A + 1
因此 |{u_n}| = |{u_n} - A + A| \le |{u_n} - A| + |A| \le 1 + |A| (和的绝对值  \le 绝对值的和)
现取 M = \max \{ |{u_1}|, \cdots ,|{u_n}|,1 + |A|\} \;\;(n > N) (有限个数,最大值一定存在)
于是 |{u_n}| \le M\;(n = 1,2, \cdots )
所以 \{ {u_n}\} 是有界的。
文章来源:http://www.codelast.com/

\xi 2 函数的极限

讨论 x 为连续自变量时,函数 y = f(x) 的极限。
1. 自变量 x 任意地接近于定值 {x_0} ,或 x 趋向于 {x_0} (记为 x \to {x_0} ),对应的函数值 f(x) 的变化趋势。

2. 自变量 x 的绝对值 |x| 无限增大(记为 x \to \infty ),对应的函数值 f(x) 的变化趋势。
文章来源:http://www.codelast.com/
(第7课完)

文章来源:https://www.codelast.com/
➤➤ 版权声明 ➤➤ 
转载需注明出处:codelast.com 
感谢关注我的微信公众号(微信扫一扫):

wechat qrcode of codelast

发表评论