[原创]高等数学笔记(7)

【前言】
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【正文】
例：证明数列 $\{ {u_n}\} = \{ {( - 1)^n}\frac{n}{{n + 1}}\}$ 是发散的。

证：
$\{ {u_n}\} : - \frac{1}{2},\frac{2}{3}, - \frac{3}{4},\frac{4}{5}, \cdots$
当 $n$ 取奇数 $2m - 1\;(m < N)$ 时，得到数列（注：对应到原来的 ${u_1},{u_3},{u_5}, \cdots$ ）：
$- \frac{1}{2}, - \frac{3}{4}, - \frac{5}{6}, \cdots , - \frac{{2m - 1}}{{2m}}, \cdots$
数列 $\{ {u_{2m - 1}}\}$ 从 $- \frac{1}{2}$ 开始单调减。
当 $n$ 取偶数 $2m\;(m \in N)$ 时，得到数列（注：对应到原来的的 ${u_2},{u_4},{u_6}, \cdots$ ）：
$\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{7}, \cdots ,\frac{{2m}}{{2m + 1}}, \cdots$
数列 $\{ {u_{2m}}\}$ 从 $\frac{2}{3}$ 开始单调增。
如下图所示：

下面，用反证法来证明。在这之前，要做一个准备工作（进行一个“无厘头”的推导），因为后后面的反证法会用到这个结论：
${u_2} - {u_1} = \frac{2}{3} - ( - \frac{1}{2}) = \frac{7}{6} > 1$
这说明，距离最短的两个点 ${u_1},{u_2}$ 之间的距离大于1。这个无厘头的结论在后面会用到。
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假设 ${u_n} \to A\;(n \to \infty )$ （ $A$ 是唯一的）
由极限定义，给定正数 $\varepsilon = \frac{1}{2} > 0$ ，必存在一个正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，恒有不等式 $|{u_n} - A| < \frac{1}{2}$
因此 $A - \frac{1}{2} < {u_n} < A + \frac{1}{2}$ ，即 ${u_n} \in (A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2}),\;\;(n > N)$
因此 ${u_{N + 1}},{u_{N + 2}},{u_{N + 3}}, \cdots \in (A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2})$
区间 $(A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2})$ 长度为1
而 ${u_{N + 1}},{u_{N + 2}}$ 落在长度为1的区间 $(A - \frac{1}{2},A + \frac{1}{2})$ 内是不可能的（由前面推导的“无厘头”结论可知，距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内）
因此 $\{ {( - 1)^n}\frac{n}{{n + 1}}\}$ 是发散的。
证毕。
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有界数列：对于数列 $\{ {u_n}\}$ ，如果存在一个正数 $M > 0$ ，使得一切 ${u_n}$ 都有 $|{u_n}| \le M$ ，则称 $\{ {u_n}\}$ 有界。

2. 定理2 如果 $\{ {u_n}\}$ 收敛，则 $\{ {u_n}\}$ 一定是有界的。
证：
由于 $\{ {u_n}\}$ 收敛，可设 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = A$
由极限定义，对给定正数 $\varepsilon = 1$ ，必存在正整数 $N$ ，使得 $n > N$ 时，恒有 $|{u_n} - A| < 1 \Leftrightarrow A - 1 < {u_n} < A + 1$
因此 $|{u_n}| = |{u_n} - A + A| \le |{u_n} - A| + |A| \le 1 + |A|$ （和的绝对值 $\le$ 绝对值的和）
现取 $M = \max \{ |{u_1}|, \cdots ,|{u_n}|,1 + |A|\} \;\;(n > N)$ （有限个数，最大值一定存在）
于是 $|{u_n}| \le M\;(n = 1,2, \cdots )$
所以 $\{ {u_n}\}$ 是有界的。
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讨论 $x$ 为连续自变量时，函数 $y = f(x)$ 的极限。
1. 自变量 $x$ 任意地接近于定值 ${x_0}$ ，或 $x$ 趋向于 ${x_0}$ （记为 $x \to {x_0}$ ），对应的函数值 $f(x)$ 的变化趋势。

2. 自变量 $x$ 的绝对值 $|x|$ 无限增大（记为 $x \to \infty$ ），对应的函数值 $f(x)$ 的变化趋势。
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（第7课完）

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