[原创] 再谈 梯度下降法/最速下降法/Gradient descent/Steepest Descent

当今世界,深度学习应用已经渗透到了我们生活的方方面面,深度学习技术背后的核心问题是最优化(Optimization)。最优化是应用数学的一个分支,它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量),以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。
梯度下降法(Gradient descent,又称最速下降法/Steepest descent),是无约束最优化领域中历史最悠久、最简单的算法,单独就这种算法来看,属于早就“过时”了的一种算法。但是,它的理念是其他某些算法的组成部分,或者说在其他某些算法中,也有梯度下降法的“影子”。例如,各种深度学习库都会使用SGD(Stochastic Gradient Descent,随机梯度下降)或变种作为其优化算法。
今天我们就再来回顾一下梯度下降法的基础知识。
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[原创]最速下降法/steepest descent,牛顿法/newton,共轭方向法/conjugate direction,共轭梯度法/conjugate gradient 及其他

 

在最优化的领域中,这“法”那“法”无穷多,而且还“长得像”——名字相似的多,有时让人觉得很迷惑。

在自变量为一维的情况下,也就是自变量可以视为一个标量,此时,一个实数就可以代表它了,这个时候,如果要改变自变量的值,则其要么减小,要么增加,也就是“非左即右“,所以,说到“自变量在某个方向上移动”这个概念的时候,它并不是十分明显;而在自变量为n(n≥2)维的情况下,这个概念就有用了起来:假设自变量X为3维的,即每一个X是(x1, x2, x3)这样的一个点,其中x1,x2和x3分别是一个实数,即标量。那么,如果要改变X,即将一个点移动到另一个点,你怎么移动?可以选择的方法太多了,例如,我们可以令x1,x2不变,仅使x3改变,也可以令x1,x3不变,仅使x2改变,等等。这些做法也就使得我们有了”方向“的概念,因为在3维空间中,一个点移动到另一个点,并不是像一维情况下那样“非左即右”的,而是有“方向”的。在这样的情况下,找到一个合适的”方向“,使得从一个点移动到另一个点的时候,函数值的改变最符合我们预定的要求(例如,函数值要减小到什么程度),就变得十分有必要了。
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