【正文】
例2. 证明函数 \(y = \sqrt[3]{x},y = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|\) 在 \(x = 0\) 点连续，但是在 \(x = 0\) 点不可导。
证：
对 \(y = \sqrt[3]{x}\) ，自变量在 \(x = 0\) 点有增量 \(\Delta x\) ，则 \(\Delta y = \sqrt[3]{{0 + \Delta x}} - \sqrt[3]{0} = \sqrt[3]{{\Delta x}}\)
因此 \({(\Delta y)^3} = \Delta x\)
因为 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {(\Delta y)^3} = {\left( {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y} \right)^3} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x = 0\)
所以 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0\)
所以 \(y = \sqrt[3]{x}\) 在 \(x = 0\) 点连续（注：由第18课的连续性定义可知）
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下面证明导数不存在。
第一个函数：
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{\Delta x}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{{(\Delta x)}^{\frac{2}{3}}}}} = \infty \)
因此 \(y = \sqrt[3]{x}\) 在 \(x = 0\) 点不可导。
第二个函数：
对 \(y = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x,x \ge 0}\\{ - x,x < 0}\end{array}} \right.\) ，易证 \(y = \left| x \right|\) 在 \(x = 0\) 点连续（这里就不详细写了）
设自变量 \(x\) 在 \(x = 0\) 点有增量 \(\Delta x\) ，则：
\(\Delta y = \left| {0 + \Delta x} \right| - \left| 0 \right| = \left| {\Delta x} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta x,\Delta x > 0}\\{ - \Delta x,\Delta x < 0}\end{array}} \right.\)
在 \(x = 0\) 处的右导数 \({{f'}_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1\)
在 \(x = 0\) 处的左导数 \({{f'}_ - }(0) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x}} = - 1\)
因为 \({{f'}_ + }(0) \ne {{f'}_ - }(0)\)
所以 \(y = f(x) = \left| x \right|\) 在 \(x = 0\) 点不可导（注：由第23课开头的定义可知）
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从函数图形上很容易看出来：
对右图，在 \(x = 0\) 点处，切线垂直于 \(x\) 轴，斜率为无穷大，故不可导。
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五、几个基本初等函数的导数公式
1. 常数 \(C\) ： \(f(x) \equiv C, - \infty < x < + \infty \)
下面推导其导数：
令 \(y = f(x) \equiv C,\;\forall x \in ( - \infty , + \infty )\)
\(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = C - C = 0\)
\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{0}{{\Delta x}} = 0\)
因此 \({\left( C \right)^\prime } = 0\)
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2. 幂函数 \(y = f(x) = {x^\alpha }\) （ \(\alpha \) 为实常数）
下面推导其导数：
当 \(\alpha = n(n \in N)\) 时，有 \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = {(x + \Delta x)^n} - {x^n}\)
按二项式定理展开前面的 \({(x + \Delta x)^n}\) ，得：
\(\Delta y = \left[ {{x^n} + n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}{{(\Delta x)}^2} + \cdots + {{(\Delta x)}^n}} \right] - {x^n}\)
\( = n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}{(\Delta x)^2} + \cdots + {(\Delta x)^n}\)
因此 \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = n{x^{n - 1}} + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}\Delta x + \cdots + {(\Delta x)^{n - 1}}\)
因此 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {n{x^{n - 1}} + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}\Delta x + \cdots + {{(\Delta x)}^{n - 1}}} \right] = n{x^{n - 1}}\)
（注：从第二项开始，每一项的极限均为0）
因此 \(({x^n})' = n{x^{n - 1}}\)
\(\alpha \) 为任何实常数时， \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\) ，这个结论以后再证明。
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3. 正弦、余弦函数 \(y = f(x) = \sin x,f(x) = \cos x\)
先来推导正弦函数的导数：
\(y = \sin x,\; - \infty < x < + \infty \)
\(\forall x \in ( - \infty , + \infty )\) ，自变量有增量 \({\Delta x}\) ，函数 \(y = \sin x\) 的增量 \(\Delta y = \sin (x + \Delta x) - \sin x = 2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})\)
（注：三角函数的和差化积公式）
因此 \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})}}{{\Delta x}}\)
因此 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos (x + \frac{{\Delta x}}{2}) = 1 \cdot \cos x = \cos x\)
（注： \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} = 1\) 是重要极限之一； \(y = \cos x\) 是连续函数，因此 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})\) 的极限号可以放进去）
因此 \((\sin x)' = \cos x\)
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再来推导余弦函数的导数：
\(y = \cos x,\; - \infty < x < + \infty \)
\(\forall x \in ( - \infty , + \infty )\) ， \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos (x + \Delta x) - \cos x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\sin \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)
\( = - \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \sin \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right) = - \sin x\)
因此 \((\cos x)' = - \sin x\)
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4. 对数函数 \(y = f(x) = {\log _a}x\;(a > 0,a \ne 1)\)
\(y = {\log _a}x,\;0 < x < + \infty \)
\(\forall x \in (0, + \infty )\) ，设自变量 \(x\) 有增量 \({\Delta x}\) ，函数对应的增量：
\(\Delta y = {\log _a}(x + \Delta x) - {\log _a}x = {\log _a}\left( {\frac{{x + \Delta x}}{x}} \right) = {\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)\)
因此 \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{1}{{\Delta x}}{\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{{\Delta x}}{\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{x}{\log _a}{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)^{\frac{x}{{\Delta x}}}}\)
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因此 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{1}{x}{{\log }_a}{{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}^{\frac{x}{{\Delta x}}}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\log }_a}{{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}^{\frac{x}{{\Delta x}}}}} \right]\)
\( = \frac{1}{x} \cdot {\log _a}\left[ {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}^{\frac{x}{{\Delta x}}}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot {\log _a}e = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{{\ln a}} = \frac{1}{{x\ln a}}\)
（注： \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)^{\frac{x}{{\Delta x}}}} = e\) 是重要极限之一，即 \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} {(1 + \alpha )^{\frac{1}{\alpha }}} = e\) ）
因此 \({\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}\)
\((\ln x)' = \frac{1}{{x\ln e}} = \frac{1}{x}\)
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本课推导的常用的导数公式总结：
\({\left( C \right)^\prime } = 0\)
\({\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\)
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\)
\({\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}\)
\({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\)
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（第24课完）
在 \(x = 0\) 处的右导数 \({{f'}_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1\)
在 \(x = 0\) 处的左导数 \({{f'}_ - }(0) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x}} = - 1\)
因为 \({{f'}_ + }(0) \ne {{f'}_ - }(0)\)
所以 \(y = f(x) = \left| x \right|\) 在 \(x = 0\) 点不可导（注：由第23课开头的定义可知）
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从函数图形上很容易看出来：
对右图，在 \(x = 0\) 点处，切线垂直于 \(x\) 轴，斜率为无穷大，故不可导。
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五、几个基本初等函数的导数公式
1. 常数 \(C\) ： \(f(x) \equiv C, - \infty < x < + \infty \)
下面推导其导数：
令 \(y = f(x) \equiv C,\;\forall x \in ( - \infty , + \infty )\)
\(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = C - C = 0\)
\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{0}{{\Delta x}} = 0\)
因此 \({\left( C \right)^\prime } = 0\)
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2. 幂函数 \(y = f(x) = {x^\alpha }\) （ \(\alpha \) 为实常数）
下面推导其导数：
当 \(\alpha = n(n \in N)\) 时，有 \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = {(x + \Delta x)^n} - {x^n}\)
按二项式定理展开前面的 \({(x + \Delta x)^n}\) ，得：
\(\Delta y = \left[ {{x^n} + n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}{{(\Delta x)}^2} + \cdots + {{(\Delta x)}^n}} \right] - {x^n}\)
\( = n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}{(\Delta x)^2} + \cdots + {(\Delta x)^n}\)
因此 \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = n{x^{n - 1}} + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}\Delta x + \cdots + {(\Delta x)^{n - 1}}\)
因此 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {n{x^{n - 1}} + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^{n - 2}}\Delta x + \cdots + {{(\Delta x)}^{n - 1}}} \right] = n{x^{n - 1}}\)
（注：从第二项开始，每一项的极限均为0）
因此 \(({x^n})' = n{x^{n - 1}}\)
\(\alpha \) 为任何实常数时， \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\) ，这个结论以后再证明。
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3. 正弦、余弦函数 \(y = f(x) = \sin x,f(x) = \cos x\)
先来推导正弦函数的导数：
\(y = \sin x,\; - \infty < x < + \infty \)
\(\forall x \in ( - \infty , + \infty )\) ，自变量有增量 \({\Delta x}\) ，函数 \(y = \sin x\) 的增量 \(\Delta y = \sin (x + \Delta x) - \sin x = 2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})\)
（注：三角函数的和差化积公式）
因此 \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})}}{{\Delta x}}\)
因此 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos (x + \frac{{\Delta x}}{2}) = 1 \cdot \cos x = \cos x\)
（注： \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} = 1\) 是重要极限之一； \(y = \cos x\) 是连续函数，因此 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})\) 的极限号可以放进去）
因此 \((\sin x)' = \cos x\)
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再来推导余弦函数的导数：
\(y = \cos x,\; - \infty < x < + \infty \)
\(\forall x \in ( - \infty , + \infty )\) ， \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos (x + \Delta x) - \cos x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\sin \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)
\( = - \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \sin \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right) = - \sin x\)
因此 \((\cos x)' = - \sin x\)
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4. 对数函数 \(y = f(x) = {\log _a}x\;(a > 0,a \ne 1)\)
\(y = {\log _a}x,\;0 < x < + \infty \)
\(\forall x \in (0, + \infty )\) ，设自变量 \(x\) 有增量 \({\Delta x}\) ，函数对应的增量：
\(\Delta y = {\log _a}(x + \Delta x) - {\log _a}x = {\log _a}\left( {\frac{{x + \Delta x}}{x}} \right) = {\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)\)
因此 \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{1}{{\Delta x}}{\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{{\Delta x}}{\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) = \frac{1}{x}{\log _a}{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)^{\frac{x}{{\Delta x}}}}\)
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因此 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{1}{x}{{\log }_a}{{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}^{\frac{x}{{\Delta x}}}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {{{\log }_a}{{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}^{\frac{x}{{\Delta x}}}}} \right]\)
\( = \frac{1}{x} \cdot {\log _a}\left[ {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)}^{\frac{x}{{\Delta x}}}}} \right] = \frac{1}{x} \cdot {\log _a}e = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{{\ln a}} = \frac{1}{{x\ln a}}\)
（注： \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)^{\frac{x}{{\Delta x}}}} = e\) 是重要极限之一，即 \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} {(1 + \alpha )^{\frac{1}{\alpha }}} = e\) ）
因此 \({\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}\)
\((\ln x)' = \frac{1}{{x\ln e}} = \frac{1}{x}\)
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本课推导的常用的导数公式总结：
\({\left( C \right)^\prime } = 0\)
\({\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\)
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\)
\({\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}\)
\({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\)
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