【正文】
（1）由于自变量 \(x\) 的变化引起函数 \(y = f(x)\) 变化的“快慢”问题——函数的变化率/导数。
（2）由于自变量的微小改变（增量 \(\Delta x\) 很小时）引起 \(y = f(x)\) 的改变量 \(\Delta y\) 的近似值问题——微分问题。
（3）求导数或微分——微分法。
一、两个实例
1.直线运动的瞬时速度问题
设质点沿直线作非匀速运动，其走过的路程 \(s\) 与时间 \(t\) 的函数关系 \(s = s(t)\) ，求某一时刻 \({t_0}\) 时的瞬时速度。
设从时刻 \({t_0}\) 到 \({t_0} + \Delta t\) 这段时间内质点走过的路程为 \(\Delta s = s({t_0} + \Delta t) - s({t_0})\)
从 \({t_0}\) 到 \({t_0} + \Delta t\) 这段时间内，平均速度 \(\overline v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{s({t_0} + \Delta t) - s({t_0})}}{{\Delta t}}\)
对非匀速运动的质点，平均速度 \(\overline v \) 可以作为 \({t_0}\) 时刻瞬时速度的近似值（ \({\Delta t}\) 很小时）：
\({\left. v \right|_{t = {t_0}}} \approx \overline v \)
\(\Delta t\) 越小， \(\overline v \) 与 \({\left. v \right|_{t = {t_0}}}\) 越接近。
如果当 \(\Delta t \to 0\) 时， \(\overline v \) 的极限存在，即：
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \overline v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{s({t_0} + \Delta t) - s({t_0})}}{{\Delta t}} = {v_0}\)
则有 \({\left. v \right|_{t = {t_0}}} = {v_0}\)
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2.曲线在一点处的切线斜率
切线：当 \(P' \to {P_0}\) 时，割线 \({P_0}P'\) 的极限位置 \({P_0}T\) 称为曲线的切线
割线： \({P_0}({x_0},f({x_0})),P'({x_0} + \Delta x,f({x_0} + \Delta x))\)
割线斜率 \(\bar k = \tan {\alpha _1} = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\)
当 \(P' \to {P_0}\) 时， \(\Delta x \to 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \bar k = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\)
切线 \({P_0}T\) 的斜率 \(k = \tan \alpha = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \bar k = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\)
（注： \(\alpha \) 为切线的倾斜角）
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二、导数定义
<定义1> 设 \(y = f(x)\) 在 \(N({x_0},\delta ),\delta > 0\) 内有定义，当自变量 \(x\) 在 \({x_0}\) 点有增量 \({\Delta x}\) （ \({x_0} + \Delta x \in N({x_0},\delta )\) ），函数 \(y = f(x)\) 相应的增量为 \(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\) ，如果极限 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\) 存在，则称 \(y = f(x)\) 在 \({x_0}\) 点可导，并称此极限值为 \(y = f(x)\) 在 \({x_0}\) 点的导数。
记为：
\(y'{|_{x = {x_0}}},\;f'({x_0}),\;{\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}},\;{\left. {\frac{{df(x)}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}}\)
即 \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\)
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直线运动的瞬时速度 \(v{|_{t = {t_0}}} = s'(t){|_{t = {t_0}}}\)
曲线在 \(({x_0},f({x_0}))\) 的切线斜率 \(k{|_{x = {x_0}}} = f'({x_0})\)
导数定义的另一种极限形式—— \(y = f(x)\) 在 \({x_0}\) 点的导数可以定义为：
若记 \(x = {x_0} + \Delta x\) （即 \(\Delta x = x - {x_0}\) ）
当 \(\Delta x \to 0\) 时， \(x \to {x_0}\)
\(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f(x) - f({x_0})\)
\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
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\(y = f(x)\) 在 \({{x_0}}\) 点可导，记为 \(f(x) \in D({x_0})\)
\(y = f(x)\) 在 \((a,b)\) 内每一点处都可导，则称 \(y = f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导，记为 \(f(x) \in D(a,b)\)
\(y = f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导，记为 \(f(x) \in D(I)\)
若 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导， \(\forall x \in (a,b)\) ，就有 \(f'(x)\) 与 \(x\) 对应，由函数定义，可知 \(f'(x)\) 是定义在 \((a,b)\) 上的函数， \(f'(x)\) 称为导函数，一般还称为导数。
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例1. 求函数 \(y = \frac{1}{{{x^2}}}\) 的导函数（ \(x \ne 0\) ）
解：
\(y = \frac{1}{{{x^2}}}\) 定义域为 \(( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )\)
\(\forall x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )\) ，自变量有增量 \(\Delta x\) ，且 \(x + \Delta x \in ( - \infty ,0) \cup (0, + \infty )\)
函数 \(y = \frac{1}{{{x^2}}}\) 对应的增量 \(\Delta y = \frac{1}{{{{(x + \Delta x)}^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{ - 2x \cdot \Delta x - {{(\Delta x)}^2}}}{{{x^2}{{(x + \Delta x)}^2}}}\)
作比值：
\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 2x - \Delta x}}{{{x^2}{{(x + \Delta x)}^2}}}\)
求极限：
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 2x - \Delta x}}{{{x^2}{{(x + \Delta x)}^2}}} = - \frac{2}{{{x^3}}}\)
即 \({\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = - \frac{2}{{{x^3}}}\)
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（第22课完）
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