[原创] 再谈梯度下降法/最速下降法/Gradient descent/Steepest Descent

learnhard — Wed, 02 Apr 2014 16:23:41 +0000

当今世界，深度学习应用已经渗透到了我们生活的方方面面，深度学习技术背后的核心问题是最优化(Optimization)。最优化是应用数学的一个分支，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。
梯度下降法（Gradient descent，又称最速下降法/Steepest descent），是无约束最优化领域中历史最悠久、最简单的算法，单独就这种算法来看，属于早就“过时”了的一种算法。但是，它的理念是其他某些算法的组成部分，或者说在其他某些算法中，也有梯度下降法的“影子”。例如，各种深度学习库都会使用SGD（Stochastic Gradient Descent，随机梯度下降）或变种作为其优化算法。
今天我们就再来回顾一下梯度下降法的基础知识。

『1』名字释义
在很多机器学习算法中，我们通常会通过多轮的迭代计算，最小化一个损失函数(loss function)的值，这个损失函数，对应到最优化里就是所谓的“目标函数”。
在寻找最优解的过程中，梯度下降法只使用目标函数的一阶导数信息——从“梯度”这个名字也可见一斑。并且它的本意是取目标函数值“最快下降”的方向作为搜索方向，这也是“最速下降”这个名字的来源。
于是自然而然地，我们就想知道一个问题的答案：沿什么方向，目标函数 $f(x)$ 的值下降最快呢？

函数值下降最快的方向是什么
先说结论：沿负梯度方向 $d = - {g_k}$ ，函数值下降最快。此处，我们用 $d$ 表示方向(direction)，用 $g$ 表示梯度(gradient)。
下面就来推导一下。
将目标函数 $f(x)$ 在点 ${x_k}$ 处泰勒展开（在最优化领域，这是一个常用的手段）：
$f(x) = f({x_k}) + \alpha g_k^T{d_k} + o(\alpha )$
高阶无穷小 $o(\alpha )$ 可忽略，由于我们定义了步长 $\alpha > 0$ （在ML领域，步长就是平常所说的learning rate），因此，当 $g_k^T{d_k} < 0$ 时， $f(x) < f({x_k})$ ，即函数值是的。此时 ${d_k}$ 就是一个下降方向。
但是 ${d_k}$ 具体等于什么的时候，可使目标函数值下降最快呢？
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数学上，有一个非常著名的不等式：Cauchy-Schwartz不等式（柯西-许瓦兹不等式）¹，它是一个在很多场合都用得上的不等式：

$({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + \cdots + {a_n}{b_n}) \le \sqrt {(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)} \sqrt {(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)}$

当且仅当：

$\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \cdots = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$

时等号成立。

由Cauchy-Schwartz不等式可知：
$\left| {d_k^T{g_k}} \right| \le \left\| {{d_k}} \right\|\left\| {{g_k}} \right\|$
当且仅当 ${d_k} = {g_k}$ 时，等号成立， $d_k^T{g_k}$ 最大（>0）。
所以 ${d_k} = - {g_k}$ 时， $d_k^T{g_k}$ 最小（<0）， $f(x)$ 下降量最大。
所以 $- {g_k}$ 是最快速下降方向。

『3』缺点
它真的如它的名字所描述的，是“最快速”的吗？从很多经典的最优化书籍你会了解到：并不是。
事实上，它只在局部范围内具有“最速”性质；对整体求最优解的过程而言，它让目标函数值下降非常缓慢。

『4』感受一下它是如何“慢”的
先来看一幅图²：

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这幅图表示的是对一个目标函数寻找最优解的过程，图中锯齿状的路线就是寻优路线在二维平面上的投影。从这幅图我们可以看到，锯齿一开始比较大（跨越的距离比较大），后来越来越小；这就像一个人走路迈的步子，一开始大，后来步子越迈越小。
这个函数的表达式是这样的：
$f({x_1},{x_2}) = {(1 - {x_1})^2} + 100 \cdot {({x_2} - {x_1}^2)^2}$
它叫做Rosenbrock function³（罗森布罗克函数），是个非凸函数，在最优化领域，它可以用作一个最优化算法的performance test函数。这个函数还有一个更好记也更滑稽的名字：banana function（香蕉函数）。
我们来看一看它在三维空间中的图形：

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它的全局最优点位于一个长长的、狭窄的、抛物线形状的、扁平的“山谷”中。

找到“山谷”并不难，难的是收敛到全局最优解（在 (1,1) 处）。

正所谓：世界上最遥远的距离，不是你离我千山万水，而是你就在我眼前，我却要跨越千万步，才能找到你。

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我们再来看另一个目标函数

$f(x,y) = \sin \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{4}{y^2} + 3} \right)\cos \left( {2x + 1 - {e^y}} \right)$ 的寻优过程⁴：

和前面的Rosenbrock function一样，它的寻优过程也是“锯齿状”的。
它在三维空间中的图形是这样的：

总而言之就是：当目标函数的等值线接近于圆(球)时，下降较快；等值线类似于扁长的椭球时，一开始快，后来很慢。

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『5』为什么“慢”
从上面花花绿绿的图，我们看到了寻找最优解的过程有多么“艰辛”，但不能光看热闹，还要分析一下原因。
在最优化算法中，精确的line search满足一个一阶必要条件，即：梯度与方向的点积为零（当前点在

${d_k}$ 方向上移动到的那一点（

${x_k} + {\alpha _k}{d_k}$ ）处的梯度，与当前点的搜索方向

${d_k}$ 的点积为零）。
由此得知：

$\nabla f{({x_k} + {\alpha _k}{d_k})^T}{d_k} = 0$ ，即

$g_{k + 1}^T{d_k} = 0$
故由梯度下降法的

${d_k} = - {g_k}$ 得：

$g_{k + 1}^T{d_k} = g_{k + 1}^T( - {g_k}) = - g_{k + 1}^T{g_k} = - d_{k + 1}^T{d_k} = 0 \Rightarrow$

$d_{k + 1}^T{d_k} = 0$
即：相邻两次的搜索方向是相互直交的（投影到二维平面上，就是锯齿形状了）。
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如果你非要问，为什么

$d_{k + 1}^T{d_k} = 0$ 就表明这两个向量是相互直交的？那是因为，由两向量夹角的公式：

$\cos \theta = \frac{{{d_k}^T{d_k}}}{{\left\| {{d_k}} \right\|\left\| {{d_k}} \right\|}} = \frac{0}{{\left\| {{d_k}} \right\|\left\| {{d_k}} \right\|}} = 0\;$
=>

$\theta = \frac{\pi }{2}$
可知两向量夹角为90度，因此它们直交。

『6』优点
这个被我们说得一无是处的方法真的就那么糟糕吗？其实它还是有优点的：程序简单，计算量小；并且对初始点没有特别的要求；此外，许多算法的初始/再开始方向都是最速下降方向（即负梯度方向）。
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『7』收敛性及收敛速度
梯度下降法具有整体收敛性——对初始点没有特殊要求。
采用精确的line search的梯度下降法的收敛速度：线性。

引用

（1）https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality
（2）https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent
（3）https://en.wikipedia.org/wiki/Rosenbrock_function
（4）https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent

文章来源：https://www.codelast.com/
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