(1, 5.5)
(1.5, 7)
(2, 6.5)

我们怎样能够预测一个未知的自变量 $x = 3$ 会对应什么样的因变量  $y$ 呢？也就是说， $x = 3$ 时  $y = ?$
显然我们的任务就是计算出两个未知参数  $a$ 和  $b$ 的值，有了这两个值，那么任意给定一个  $x$ ，我们都能通过函数  $y = ax + b$ 计算出  $y$ 的值了，这就是所谓的“预测”。
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Logistic Regression也是类似，我们有一个函数 $y = f(X)$ ，里面包含若干个未知参数 ${\theta _0},{\theta _1},{\theta _2}, \cdots ,{\theta _n}$ 。
由于现实世界是复杂的，因变量  $y$ 通常会跟很多因素（自变量 $x$ ）有关系，即  ${x_0},{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}$ ，所以这里自变量是一个向量，这里用大写的 $X$ 来表示。同理，那一堆未知的参数也是一个向量，用一个字母 $\theta$ 来表示。
现在给我们一堆 $(x,y)$ 的历史数据，我们要想办法计算出所有未知参数的值，然后就可以拿来预测新的  $x$ 值所对应的  $y$ 值了。
但是这个函数是什么呢？如下：
$f(X) = \frac{1}{{1 + {e^{ - {\theta ^T}X}}}}{\rm{ }}$ ……（1）
其中， $\theta$ 是参数向量， $X$ 是自变量（向量）。
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那么，这个略显奇怪的函数是怎么来的呢？
首先我们看 ${{\theta ^T}X}$ 这部分：这是参数向量与自变量（向量）的点积，这个式子想要表达的含义是：计算某个事件发生的可能性，可以把跟这个事件相关的所有特征加权求和。例如，要求今天下雨的可能性，可以把今天所有和下雨相关的概率加权求和，例如梅雨季节权重为9（每天都很可能下雨），有台风经过权重为6，等等，每一个因素都影响着“下雨的可能性”，即：
$s = \sum\limits_{i = 0}^n {{\theta _i}{x_i}} = {\theta _0}{x_0} + {\theta _1}{x_1} + \cdots + {\theta _n}{x_n} = {\theta ^T}X$
但是这个加权求和的结果是在 $( - \infty , + \infty )$ 范围内的，为了能表示预测的概率，我们希望把输出值限制在 $(0,1)$ 之间，而不是  $( - \infty , + \infty )$ 。所以，这时，逻辑函数就出场了。

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通过这个WiKi页面你可以知道，其实所谓的逻辑函数，就是这样的一个函数：
$P(t) = \frac{1}{{1 + {e^{ - t}}}}$
这个函数是由 Pierre François Verhulst（皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒）在1844～1845年的时候给它起的名字。而我们上面的函数(1)，就是这个形式。
逻辑函数的图像是这个样子的：

它的函数值刚好就是在(0,1)之间。
所以，我们通过逻辑函数，就可以计算出一个事件的概率了（(0,1)之间）。但是不要忘了，我们前面说要处理二分类问题，得到一个(0,1)之间的任意值并不能归到两个分类中的一个里去，所以还要把这个概率值“归类”。其实这里很简单，我们可以在  $f(X) > 0.5$  的时候，把它归到类别1中， $f(X) \le 0.5$  的时候，把它归到类别2中就可以了（概率值的“分水岭”可以根据实际情况调整）。用数学公式来表达这段话的含义就是：

在各种机器学习的文章中，你都会看到，它们给了逻辑函数一个常用的名字：Sigmoid函数。sigmoid，意为“S形的”，这正符合其函数图像特点，所以大家记住就行了。
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现在，我们已经有了函数，下一步任务就是求出函数表达式中的未知参数向量 $\theta$ 了。这个过程是机器学习中最为核心的计算步骤。
以前面讲过的函数 $y = ax + b$  为例：
你会发现，当已知几组 $(x,y)$  数据的情况下：

(1, 5.5)
(1.5, 7)
(2, 6.5)

你无论如何也不可能找到一对 $a$ 和  $b$ 的值，使得以上3组数据能精确地满足方程   $y = ax + b$ ，正如下面的图像所示：

这条直线如果要精确地通过其中的两个点，那么就不能通过第三个点。所以，最终求出来的  $a$ 和  $b$ 的值，并不是方程的解析解，而是“最优解”。
因此，问题在于，我们如何画一条直线，使得其是“最优”的？“最优”的评判标准是什么？
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为了理解“最优”，我们需要先了解一些概念。

• 损失函数／Loss Function／代价函数／Cost Function

很多文章说，这几个名词的含义是一样的。但是也有文章说，Loss Function和Cost Function不是一回事，例如这篇文章。但通常认为，这二者是一回事。我觉得嘛，大家就按通常的概念来接受就好了。
按WiKi的定义：

以及：

我们可以知道，损失函数用于衡量预测值与实际值的偏离程度，如果预测是完全精确的，则损失函数值为0；如果损失函数值不为0，则其表示的是预测的错误有多糟糕。使得损失函数值最小的那些待求参数值，就是“最优”的参数值。
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所以现在问题来了，损失函数的表达式又是什么？
在探讨损失函数的表达式之前，我们先来看一下损失函数有哪些种类。
损失函数有很多种，例如下面几个：
（1）0-1损失函数：可用于分类问题，即该函数用于衡量分类错误的数量，但由于此损失函数是非凸（non-convex）的，因此在做最优化计算时，难以求解，所以，正因为如此，0-1损失函数不是那么“实用”（如果这句话有误，请指正）。
（2）平方损失函数（Square Loss）：常用于线性回归（Linear Regression）。
（3）对数损失（Log Loss）函数：常用于其模型输出每一类概率的分类器（classifier），例如逻辑回归。
（4）Hinge损失函数：常用于SVM（Support Vector Machine，支持向量机，一种机器学习算法）。中文名叫“合页损失函数”，因为hinge有“合页”之意。这个翻译虽然直白，但是你会发现，99％的文章都不会用它的中文名来称呼它，而是用“Hinge损失”之类的说法。

这些都是人们的经验总结，当然，说每一种损失函数常用于什么机器学习算法，也都是有数学依据的。但是在这里，我们讲的是Logistic Regression，所以只看对数损失函数。对数损失函数通常用于衡量分类器（classifier）的精度，这里的“分类器”也就是指机器学习的模型，它对每一个类别输出一个概率值。从前面的文章中，我们已经知道了，逻辑回归就是这样一种分类器，所以才用对数损失函数来衡量其精度。
有时候，对数损失函数（Log Loss）也被叫作交叉熵损失函数（Cross-entropy Loss）。交叉熵这个名字比较拗口，在信息理论中，熵用于衡量某种事件的“不可预测性”，而交叉熵=事件的真实分布+不可预测性，所以交叉熵可以用于度量两个概率分布（真实分布&预测分布）之间的差异性，即：交叉熵损失函数（对数损失函数）可以衡量一个模型对真实值带来的额外噪音，通过最小化交叉熵损失函数（对数损失函数），我们就可以最大化分类器（模型）的精度。
上面这一大段话试图用简单的描述让你相信，为什么要用Log Loss来衡量Logistic Regression的误差，但是没有给出证明。有人可能会说，为什么不能用其他的方法来衡量，例如用平方损失函数（Square Loss）。事实上，这是有数学依据的——它会导致损失函数是一个关于参数向量 $\theta$ 的非凸函数，而用对数损失函数就没有这种问题。凸函数的性质为我们后面求解参数向量 $\theta$ 提供了极大便利，非凸函数有很多局部最优解，不利于求解 $\theta$ 的计算过程。
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到这里为止，我们还是没有提到损失函数的数学表达式，但是如果要计算损失函数的值，我们是回避不了的，必须要知道。所以，这里用 L 来表示损失函数（取Loss之意），则对数损失函数的表达式为：
$L = - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {[{y_i}\log ({{\hat y}_i}) + (1 - {y_i})\log (1 - {{\hat y}_i})]}$ ......（2）
其中， ${{y_i}}$ 是第i个真实值（ ${y_i} \in \{ 0,1\}$ ）， ${{{\hat y}_i}}$ 是第i个预测值。
这个对数损失函数的表达式中并没有出现我们要求解的参数  $\theta$ ，所以我们把  $\hat y = f(X) = \frac{1}{{1 + {e^{ - {\theta ^T}X}}}}$ 代到（2）式中去：
$L = - \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{y_i}\log \left( {\frac{1}{{1 + {e^{ - {\theta ^T}{X_i}}}}}} \right) + (1 - {y_i})\log \left( {1 - \frac{1}{{1 + {e^{ - {\theta ^T}{X_i}}}}}} \right)} \right]}$
再来仔细看一下这个式子：N 为数据集的条数（有多少组 $(X,y)$ ，N就是多少），已知； ${{y_i}}$ 是真实值，已知； ${{X_i}}$ 是输入的向量，也已知。所以整个式子里只有 $\theta$ 是未知的，可以记为 $L(\theta )$ ，称之为目标函数：
$L(\theta ) = - \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{y_i}\log \left( {\frac{1}{{1 + {e^{ - {\theta ^T}{X_i}}}}}} \right) + (1 - {y_i})\log \left( {1 - \frac{1}{{1 + {e^{ - {\theta ^T}{X_i}}}}}} \right)} \right]}$
因此，我们只要找到一个参数向量 $\theta$ ，能使得此式的值最小，那么这个参数向量 $\theta$ 就是“最优”的参数向量。
求得了这个最优的 $\theta$ 之后，把它代入式（1），则对任一个未知的 $X$ ，我们都可以计算出 $f(X)$ 值，然后再根据一个阈值把它调整到 0 或 1，就得到了这个 $X$ 所属的分类，这样，我们就完成了一次“预测”的过程。
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所以现在问题来了，这个“最优”的参数向量 $\theta$ 怎么求解？
在大的方向上，你可以选择不使用搜索方向的算法（例如信赖域算法），也可以选择众多使用搜索方向的算法（例如梯度下降法）。
在是否计算目标函数的导数这个方面，你可以使用不用求目标函数导数的算法（例如Powell共轭方向集方法），也可以使用要求目标函数导数的算法（例如梯度下降法）。由于某些目标函数形式特别复杂，计算其导数特别麻烦，所以在这种时候，不用计算导数的算法可能大有帮助。

求解的过程就是一个最优化的过程，本文无法用一两句话描述清楚，请大家移步链接进行阅读。

事实上，在现在各种机器学习library百花齐放的今天，我们基本上不需要自己编写这些算法的具体实现，只需要调用它们即可。例如，通过Spark的Machine Learning Library (MLlib)，我们可以直接使用Stochastic gradient descent (SGD)，Limited-memory BFGS (L-BFGS)等实现。但是对这背后的原理有所了解，对工作学习是有帮助的。
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