[原创]易混淆的高数基础知识总结

learnhard — Mon, 19 Aug 2013 02:37:42 +0000

一个包含 $x,y$ 的数学表达式（等式）一定代表一个函数关系吗
不一定。例如 $y = \arcsin ({x^2} + 2)$ 这个表达式，由于 ${x^2} + 2 \ge 2$ ，而 $\arcsin w$ 要求 $w \le 1$ ，因此没有一个 $y$ 可以与 $x$ 对应，因此按函数的定义，此表达式不构成函数关系。

无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大
前者需要用无穷大的定义即可证明；后者可以从一个反例来说明： $f(x) = x\sin x$ 在 $(0, + \infty )$ 内是无界函数，但当 $x \to + \infty$ 时， $f(x)$ 不是无穷大（具体的证明过程看这里）。

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[原创]常用的数学符号总结

learnhard — Mon, 19 Aug 2013 02:33:27 +0000

数学里经常会用一些符号来代替中文（例如∵表示“因为”），以达到书写简洁的目的，下面是一些常用的符号的总结。

$s.t.$ ：subject to，满足于，使得
例：见下条。

$\exists$ ：存在
例： $\exists$ 正整数 $n$ ，s.t. $\left| {f(x)} \right| > n$

$\forall$ ：任意的
例：对 $\forall x > 0$ ，有 $f(x) < 0$
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$N(\mathop a\limits^ \wedge ,\delta ) = \left\{ {\left. x \right|0 < \left| {x - a} \right| < \delta } \right\} = N(a,\delta )\backslash \left\{ a \right\}$ ：点 x 的去心领域
“去心”就是在字母上面加一个 ^ 符号。
注意最右边一个式子里不是除号，是右斜杠，它表示在 $N(a,\delta )$ 这个集合中去掉 $\{ a\}$ 这个集合，正好就是 $a$ 的去心领域。

$f(x) \in C(a,b)$ ： $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续

关于“可导”的一些记号
$y = f(x)$ 在 ${{x_0}}$ 点可导，记为 $f(x) \in D({x_0})$

$y = f(x)$ 在

$(a,b)$ 内每一点处都可导，则称

$y = f(x)$ 在

$(a,b)$ 内可导，记为

$f(x) \in D(a,b)$

$y = f(x)$ 在区间

$I$ 上可导，记为

$f(x) \in D(I)$

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