[原创]高等数学笔记(23)

【前言】
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【正文】
<定义2> 设函数 f(x){x_0} 点的左侧 [{x_0} + \Delta x,{x_0}]\Delta x < 0 )有定义,如果极限 \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} 存在,则称此极限为 f(x){x_0} 点的左导数,记为 {{f'}_ - }({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}

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[原创]高等数学笔记(22)

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【正文】

第3章 导数与微分

(1)由于自变量 x 的变化引起函数 y = f(x) 变化的“快慢”问题——函数的变化率/导数。
(2)由于自变量的微小改变(增量 \Delta x 很小时)引起 y = f(x) 的改变量 \Delta y 的近似值问题——微分问题。
(3)求导数或微分——微分法。

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[原创]高等数学笔记(20)

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【正文】
(3)复合函数的连续性:设 u = \varphi (x){x_0} 处连续, \varphi ({x_0}) = {u_0} ,而 y = f(u){u_0} 点处连续,则复合函数 f\left[ {\varphi (x)} \right]{x_0} 点处连续。

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[原创]高等数学笔记(19)

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【正文】
三、初等函数的连续性
1. 连续函数的和、积、商的连续性
(1)有限个在某点连续的函数的代数和仍然是在该点连续的函数
(2)有限个在某点连续的函数的乘积仍然是在该点连续的函数
(3)两个在某点连续的函数的商仍然是在该点连续的函数,只要分母在该点处函数值不零

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[原创]高等数学笔记(17)

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【正文】

\xi 5 无穷小量的比较

这里讨论的 \alpha ,\beta 都是同一个自变量作同一变化过程中的无穷小,且 \alpha \beta 之比也是同一个变化过程中的极限。

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[原创]高等数学笔记(16)

【前言】
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【正文】
上节课已经证明了:当 x = n\;(n \in N) 时, \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e ,下面要证明当 x 为连续自变量时,结论仍成立。

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[原创]高等数学笔记(12)

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【正文】
<定理>  \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A (或 \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = A ),A为常数  \Leftrightarrow \;f(x) = A + \alpha (x) ,且 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \alpha (x) = 0 (或 \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \alpha (x) = 0

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[原创]高等数学笔记(11)

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【正文】

\xi 3 函数极限的性质和极限的运算

一、极限值与函数值的关系
1. (极限值的唯一性)如果 \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) 存在,则其极限值是唯一的

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