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【前言】
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【正文】
四、连续函数在闭区间上的性质

函数在区间 I 上的最大、最小值定义:
设函数 f(x) 在区间 I 上有定义,如果 {x_0} \in I ,使得 \forall x \in I ,都有 f({x_0}) \le f(x) (或 f({x_0}) \ge f(x) ),则称 f({x_0})f(x) 在区间 I 上的最小值(或 f({x_0})f(x)I 上的最大值),记为:
\mathop {\min }\limits_{x \in I} f(x) = f({x_0}) (或 \mathop {\max }\limits_{x \in I} f(x) = f({x_0})
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1.最大、最小值定理
闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值,即:若 f(x)[a,b] 上连续(记为 f(x) \in C\left[ {a,b} \right] ),则必定存在 \xi ,\eta \in [a,b] ,使得:
\mathop {\min }\limits_{x \in [a,b]} f(x) = f(\xi ),\;\mathop {\max }\limits_{x \in [a,b]} f(x) = f(\eta )
即: f(\xi ) \le f(x) \le f(\eta ),\;x \in [a,b]

注意:“闭区间”、“连续”这两个条件不可少。
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例如: y = \frac{1}{x}(0,1) 连续,但它既无最大值,也无最小值。

又如:

f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x,}\\{1,}\\{x,}\end{array}}\right.\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \le x < 0}\\{x = 0}\\{0 < x \le 1}\end{array}
函数图像如下图所示:
f(x)[ - 1,1] 上的 x = 0 点处不连续, f(x)[ - 1,1] 内无最小值。
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2.有界性定理
在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。
证:设 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,由性质1(最大、最小值定理)可知:一定存在最大值 M 和最小值 m ,使 m \le f(x) \le M,\;x \in [a,b]
所以 f(x)[a,b] 上既有上界,也有下界  \Rightarrow f(x)[a,b] 上有界。
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3.零值点定理
使函数 f(x) 的函数值等于0的点 {x_0} (即 f({x_0}) = 0 )称为 f(x) 的零值点。
f(x)[a,b] 上连续,且 f(a)f(b) 异号(即 f(a)f(b) < 0 ),则至少存在一点 \xi ,使 f(\xi ) = 0

y = f(x)[a,b] 上连续,则函数曲线 y = f(x) 是连续曲线,两端点为 A(a,f(a)),B(b,f(b))
因为 f(a),f(b) 异号,点 A,Bx 轴上、下两侧,连接 A,B 的连续曲线必定与 x 轴相交,此交点即为 f(x) 的零值点。
4.介值定理
f(x) \in C\left[ {a,b} \right] (即在 [a,b] 上连续),且 f(a) = A,f(b) = B,A \ne B ,则对于数 CC 介于 A,B 之间),则至少存在一点 \xi ,使 f(\xi ) = C
证:
不妨设 A < B ,即 A < C < B
作函数 F(x) = f(x) - C[a,b] 上连续(两个连续函数的差是连续的)
F(a) = f(a) - C = A - C < 0
F(b) = f(b) - C = B - C > 0
所以 F(a),F(b) 异号
所以由结论3可得结论4。
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推论:f(x) \in C\left[ {a,b} \right] ,令 m = \mathop {\min }\limits_{x \in [a,b]} f(x),M = \mathop {\max }\limits_{x \in [a,b]} f(x) ,则 m < M ,而数 \mu :\;\;m < \mu < M ,则至少存在一点 \xi ,使 f(\xi ) = \mu
证:
由性质1可知,至少存在点 {x_1},{x_2} \in [a,b] ,使 f({x_1}) = m,f({x_2}) = M
则函数 f(x)[{x_1},{x_2}][{x_2},{x_1}] 上是连续的(注:因为不知道 {x_1},{x_2} 谁大谁小,所以有两种情况)
[{x_1},{x_2}][{x_2},{x_1}] 上利用性质4即得结论。
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例1. 设 f(x) \in C\left( {a,b} \right) (即 f(x) 在开区间 (a,b) 内连续), {x_i} \in (a,b)\;(i = 1,2, \cdots ,n) ,请证明:至少存在一点 \xi \in (a,b) ,使得 f(\xi ) = \frac{{f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n})}}{n}
证:
c = \min \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} ,\;d = \max \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\}
[c,d] \subset (a,b) ,且 f(x) \in C\left[ {c,d} \right]
由性质1可知,一定存在 m = \mathop {\min }\limits_{x \in [c,d]} f(x),M = \mathop {\max }\limits_{x \in [c,d]} f(x)
从而有 m \le f({x_1}) \le M,\;m \le f({x_2}) \le M,\; \cdots ,m \le f({x_n}) \le M
n个不等式相加:
nm \le f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n}) \le nM
m \le \frac{{f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n})}}{n} \le M
由性质4推论即得结论成立:至少存在一点 \xi \in [c,d] \subset (a,b) ,使 f(\xi ) = \frac{{f({x_1}) + f({x_2}) + \cdots + f({x_n})}}{n}
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(第21课完)
[原创]高等数学笔记(21)

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